W"^W' '*'^" PA'.PB'=:PC.PD

Donc

MP r=PC.PD

et, par suite (223), le point M appartient à un cercle décrit sur CD comme diamètre.

Fig. 463.

872. RÉCIPROQUEMENT f Un*/ a que les sjsct ions parallèles et les sections anti-parallèles à la base qui soient des cercles.

En effet, considérons une section circulaire CMD non parallèleàlabase, et soit (y^. 462) RR' la trace de son plan sur le plan de la base; du centre 0, abaissons sur RR' la perpendiculaire OQ qui rencontre la circonférence de base en A et B; menons les génératrices SA, SB, et les tangentes AK et BL qui sont évidemment parallèles à QR. Les plans SAK, SBL, tangents au cône, couperont le plan MRR' suivant deux droites CG et DH, tangentes au cercle CMD et parallèles à RR'; par suite, la droite DCQ sera perpendiculaire à RR', et Ton conclut de là que les cercles AB et CD sont perpendiculaires au même plan SAB qui passe par leurs centres et par le sommet du cône. D'ailleurs, en menant la section B'MA' parallèle à la base, on a

MP'=PA'.PB', MP'=PC.PD, d'où PA'.PB'= PC.PD.

Les triangles PA'C, PDB', sont donc semblables, et les angles DB'A', DCA', sont égaux, de sorte que CD est anti-parallèle à AB.

2l6. GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.

Corollaires.

873. La même propriété subsiste pour le cylindre oblique à base circulaire.

874. Deux sections, Vunc A, B, jiorallèlc. Vautre CD anti- parallèle à la base d'un rône oblique à base circulaire, sont toujours situées sur une même sphère; car les deux sections circulaires A, B, et CD {fi^. 463 ) doivent (871 ) être perpendiculaires à un même plan SAB passant par leurs centres, et le quadrilaière A, B, DC situé dans ce plan doit être inscriptible; les cercles A, B, et CD sont donc sur la sphère dont le grand cercle passe par les quatre points A^ B,, C, D.

Inversement, par deux cercles A^ B, et CD placés sur la surface d'une sphère, on peut toujours faire passer deux cônes. — En effet, soient [fig, 463) A, B, DC une section passant par le centre de la sphère et par les centres des deux cercles, et A, B,, CD, les diamètres de ces cercles, déterminés par la section A,B, CD; les plans de ces cercles seront perpendiculaires au plan sécant A, B, CD. Or, si Ton mène les droites A, C et B, D, leur point de concours S sera le sommet d'un cône ayant pour base le cercle A, B, et passant par les points C et D. Mais Tangle DCS est égal à langle A, B, S; donc, la section CD faite dans le cône par un plan perpendiculaire à A, B, DC sera un cercle ayant CD pour diamètre ; donc ce cercle se confond avec le cercle CD de la sphère. 11 y a un second cône qui coupe la sphère suivant les mêmes cercles A, B, et CD ; son sommet est à l'intersection S' des deux diagonales B, C et A, D. Ces deux cônes peuvent, dans certains cas, dégénérer en cylindres.

875. 11 résulte encore des considérations précédentes que lorsqu'un cône S pénètre dans une sphère suivant un cercle A, B,, il en sort suivant un second cercle CD.

876. Dans un cône oblique à base circulaire, les centres des sections parallèles à la base sont distribués sur une même droite passant par le sommet; les centres des sections an ti- parallèles à la base sont aussi placés sur une seconde droite passant par le sommet. Il importe de connaître la situation respective de ces deux droites.

Soit SAB la section principale du cône dont la base est le cercle décrit sur AB comme diamètre. Le cercle circonscrit au triangle A?B [Jîg. 464) est un grand cercle de la sphère qui contient le cercle AB et le sommet S du cône. La tangente SG au cercle SAB est la trace sur SAB du plan tangent à la sphère en S, et ce plan tangent est perpendiculaire au plan SAB de la figure; d'ailleurs, la droite SG est anti-parallèle à AB, à cause de l'égalité des angles BAS, BSG. Donc le plan tangent SG est parallèle aux plans des sections anti-parallèles à la base AB, et la question se réduit à trouver le centre d'une section quelconque parallèle à ce plan tangent. Nous choisirons celle qui passe par le point de concours T de>s tan-