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105. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe général du n*» 40, il résulte que :

Réciproquement, dans un même cercle ou dans des cercles égaux, deux cordes également éloignées du centre sont égales; et, de deux cordes inégalement éloignées du centre, la plus éloignée est la plus petite.

§ n. - TANGENTE AU CERCLE. - POSITIONS MUTUELLES DE DEUX CIRCONFÉRENCES.

DÉFINITION

106. On nomme tangente au cercle toute droite CD (Jig. 71 ) qui n'a qu'un point commun avec la circonférence. Ce point commun A est appelé point de contact.

58 GÉOMÉTIIIE PLANE.

THÉORÈME

107. Toute perpendiculaire ÇX>, à Vextrémité d'un rayonOk^ est tangente à la circonférence {fig. 71).

Fie

En effei, en joignant au centre 0 un point quelconque B de CD, autre que le point A, on obtient une droite OB oblique sur CD, puisque OA est la perpendiculaire à CD qui passe par le point 0. Cette droite OB est donc plus grande que le rayon OA (il), et, par suite, le point B est extérieur au cercle (94.). La droite CD ayant tous ses points hors du cercle, sauf le point A, qui est commun aux deux lignes, est donc une tangente à la circonférence.

108. Réciproquement, toute tangente CD à la circonférence est perpendiculaire A l'extrémité du rayon OA qui aboutit au point de contact A {Jig. 71).

En effet, tout point B de la tangente CD, autre que le point A, étant extérieur au cercle, sa distance BO au centre est plus grande que le rayon (94). Donc le rayon OA est la plus courte de toutes les droites qu'on peut mener du centre à la tangente CD. En d'autres termes, OA est perpendiculaire sur CD (4.4), et inversement, la tangente CD est perpendiculaire au point A sur le rayon OA.

Corollaires.

109. Par un point A d'une circonférence 0, on peut toujours mener une tangente à cette couii)ey et on ne peut en mener qu'une.

110. Toute tangente est pamllèle aux cordes que le diamètre mené au point de contact divise en deux parties égales {i(^^).