LIVRE II. — LA CIRCONFfiRBNCB DE CERCLE. Sg

SCOLIBS.

111. On peut considérer la tangente AC en un point A d'une circonférence (^gf. 72) comme la position limite d'une sé^ cante AB issue du point A, lorsque cette sécante tourne autour de A de manière que le second point d'intersection B vienne se confondre avec le premier. Car, au moment où les deux points d'intersection B et A sont ainsi réunis en un seul, la droite AC n'a plus qu'un point commun avec la circonférence.

Cette nouvelle définition de la tangente est applicable à toutes les courbes. D'ailleurs, nous verrons plus tard qu'outre sa généralité, cette définition a sur celle du n« 106 l'avantage de meure en lumière l'intime corrélation de certains théorèmes qui sembleraient sans cela tout à fait distincts.

On dit qu'une courbe ou qu'un arc de courbe est convexe lorsque cette courbe ou cet arc tombe entièrement d'un même côté de chacune de ses tangentes (73). 11 résulte du [n** 107 que la circonférence de cercle est une courbe convexe.

Nous avons vu au n° 95 qu'une droite quelconque ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points. Tout arc de courbe convexe jouit de la même propriété; car si une droite coupait cet arc en trois points, le premier et le dernier point seraient situés de part et d*autre de la tangente au point intermédiaire.

112. On appelle normale en un point d'une courbe la perpendiculaire élevée par ce point à la tangente correspondante.

La normale en un point d'une circonférence est donc dirigée suivant le rayon qui passe par ce point, c'est-à-dire que toutes les normales à la circonférence passent par son centre.

Il en résulte que, par un point pris sur la circonférence, on peut toujours lui mener une normale^ mais une seulestandis que par un point 0, extérieur ou intérieur à cette courbe {Jig. 73), on peut en mener deux .• la normale OA et la normale OB.

Toute droite qui n'est pas normale à la circonférence lui est oblique.

THÉORÈME

1 13. Toute oblique OE, issue d'un point 0 qui n'appartient pas à la circonférence C, est comprise entre les deux normales OA et OB qui passent par ce point (fig, 78).

6o GfiOMtTR» PLANE.

Que le point 0 soil extérieur ou intérieur. OA est égale à la différence des côtés OC et CE du triangle OCE; donc la normale OA est plus petite que l'oblique OE, troisième côté du triangle (29).

Fig. 73.

De même, OB est égale à la somme des côtés OC et CE du même triangle; donc la normale OB est plus grande que l'oblique OE, troisième côté de ce triangle (28).

SCOLIE

11&. Les deux normales OA et OB représentent la plus courte et la plus grande distance du point 0 à un point de la circonférence donnée. La distance du point 0 à la circonférence sera mesurée, d'après cela, par la normale OA.

THÉORÈME

115. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux.

Il faut distinguer trois cas :

i" Supposons {fig. 74) que les parallèles AB, CD, soient sécantes, et abaissons du centre 0 sur ces droites la perpendiculaire commune OM qui coupe la circonférence en M. Le

Fig. 75

IlL^ D

point M est (102) à la fois le milieu de Tare EMF que soustend la corde EF, et le milieu de l'arc GMH que sous-tend la corde GH ; on a donc

arc EM = arc FM, arc GM = arcHM ;