LIVRE II. — LÀ GIRGONFÉRBNGB DE CERCLE. 6f

û*où, en soustrayant membre à membre,

arc EM — arc GM = arc FM — arc HM ,

c'est-à-dîre

arcEG = arcFH.

2? Supposons (^g. 75) que les parallèles AB et CD^soient Tune sécante et l'autre tangente. Alors le rayon OK, qui aboutit au point de contact, est (107, 110) une perpendiculaire commune à la tangente CD et à la corde £F qui lui est parallèle ; il divise donc Tare EKF, sous-tendu par cette corde, en deux parties égales, et Ton a

arcEK = arcFK.

3® Supposons enfin {Jig. 76) que les deux parallèles AB et CD soient tangentes, Tune en 1 et Tautre en K. Les deux rayons 01 et OK, respectivement perpendiculaires à AB et à CD, seront dans le prolongement l'un de l'autre, puisque des droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Les deux arcs KPI, KQI, sont donc égaux l'un et l'autre à une demicîrconférence.

THÉORÈME

116. Par trois points A, B, C, non situés en ligne droite, on peut toujours faire passer une circonférence y et on ne peut en faire passer qu'une (fig^ 77 ).

11 s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé a la même distance des trois points donnés A, B, C.

Or, tout point équidistant de A, B, C, doit se trouver sur la perpendiculaire DE élevée sur le milieu de AB, parce qu'elle est le lieu des points équidistants de A et de B; il doit aussi appartenir à la perpendiculaire FG élevée sur le milieu de BC, parce qu'elle est le lieu des points équidistants de B et de C,

Comme deux droites DE, FG, ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistant des points A, B, C. En second lieu, un tel point existe toujours si, conformément à notre ii^'pothèse, les points A, B, C, ne sont pas en ligne droite ; car, les deux droites AB et BC se coupant, les droites DE et FG qui leur sont respectivement perpendiculaires doivent se rencontrer en un certain point 0 (67, 2° ).

Le cercle décrit de ce point 0 comme centre, avec l'une des trois droites égales OA, OB, OC, pour rayon, passe par les points A, B, C, et est le seul qui puisse y passer.

On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide en disant : Trois points, non en ligne droite, déterminent une circonférence.

Corollaire.

117. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans coïncider; d'où il suit que deux circonférences distinctes ne peuvent avoir plus de deux points communs.

Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on dit qu'elles se coupent ou qu'elles sont sécantes.

Lorsque deux circonférences n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes; le point commun est appelé point de contact.

118. Lorsque deux circonférences se coupent, la droite 00' qui joint leurs centres est perpendiculaire sur la corde commune AB et divise cette corde en deux parties égales {fig. 78).

Fig. 78. Fig. 79.

En effet, la perpendiculaire élevée sur la corde commune AB par son milieu I doit passer par le centre de chacune des deux circonférences 0 et 0' ( 103 ).