III. - MESURE DES ANGLES

NOTIONS PRÉLIMINÀIBES ( * ).

123. On acquiert la notion du nombre entier en considérant des objets distincts et semblables. Nous allons expliquer comment le problème de la mesure des grandeurs conduit à étendre cette première idée.

On ne considère, en mathématiques, que les grandeurs dont on peut définir d'une manière précise r égalité et l'addition; tels sont, par exemple, les angles : nous avons dit en effet, au n® 9, ce qu'on entend par angles égaux et par somme de deux angles. Une grandeur est plus grande qu'une autre quand elle est la somme de celte autre et d'une troisième de même nature.

Lorsqu'une grandeur est la somme de 2, 3, 4f • • parties, égales à une autre grandeur de même espèce, on dit que la première est un multiple de la seconde, et que la seconde est une partie aliquote de la première.

Deux grandeurs sont dites commensurables entre elles lorsqu'elles sont des multiples d'une troisième grandeur qu'on appelle alors leur commune mesure ; dans le cas contraire, elles sont incommensurables entre elles.

124. Pour mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre cette grandeur et une autre de même espèce, arbitraire, mais bien connue, et qui reçoit le nom d'unité.

Si cette commune mesure est l'unité elle-même, et que la grandeur proposée la contienne, par exemple, 3 fois sans este, on dit que la grandeur est mesurée par le nombre entier 3.

Si cette commune mesure est une partie aliquote de l'unité; par exemple, si, l'unité étant partagée en cinq parties égales.

(*) La mesure de retondue étant l'un des principaux objets de la Géométrie, il nous a paru indispensable de traiter ici d'une manière succincte la question générale de la mesure des grandeurs.

Dans ce paragraphe, comme dans la suite de ce Traité, les commençants pourront omettre les parties imprimées en petit caractère.

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la grandeur proposée esi la somme de trois de ces parties, on dit que cette grandeur est les trois cinquièmes de Tunité et qu'elle est mesurée par le nombre trois cinquièmes, que Ton

écrit ^- On qualiOe d'ailleurs un tel nombre Ae fractionnaire

pour le distinguer des nombres entiers seuls considérés jusque-là.

En résumé, mesurer une grandeur commensurable avec Vu-nité, c'est chercher combien cette grandeur renferme d'unités ou de parties aliquotes de l'unité. Suivant que la grandeur est un multiple de l'unité ou un multiple d'une partie aliquote de l'unité, ie nombre qui exprime sa mesure est entier ou fractiot^ mire. Réciproquement, toute grandeur m.esurée par un nombre entier ou fractionnaire est commensurable avec l'unité, car elle est un multiple de l'unité ou d'une partie aliquote de l'unité.

125. Considérons maintenant une grandeur incommensurable avec l'unité choisie.

Concevons l'unité décomposée en un nombre quelconque n de parties é^es entre elles et moindres que la grandeur à mesurer G. En prenant I. î, 3, 4 , - . . , de ces parties, on formera une série de grandeurs

croiîisant au delà de toute limite et mesurées respectivement par les nombres

On trouvera donc, en allant assez loin dans la série (i), deux grandeurs consécutives A^ et A^^, qui comprendront la proposée G. En substituant à G soit A^, soit A»^, , on commettra une erreur moindre que la différence Aj^. — A^, c'est-à-dire aussi faible qu'on voudra, puisque cette différence, qui est la it"^ partie de l'unité, peut être diminuée à volonté en prenant n a^sez grand.

La grandeur G étant la limite commune des grandeurs commensurables A, et A,,^,, le nombre qui la mesure est, par définitiony la limite com

raunfe des nombres - et qui mesurent k^ et A^^, ; et en prenant,

soit -» soit pour le nombre qui mesure G, on aura de ce nombre

«ne valeur, par défaut ou par excès, approchée à moins de - j c'est-à-dire

une valeur qu'on pourra, en faisant croître //, rendre aussi approchée qu'on voudra.

126. Un nombre est dit commensurahle ou incommensunthle suivant que la grandeur dont il exprime la mesure est commensurahle ou incommensurable avec Tunilé adoptée. Les nombres commcDSu râbles sont les nombres entiers et les fractions.

Le résultat d'opérations à effectuer sur des nombres incommensurables peut être obtenu avec telle approximation qu'on veut, en substituant à ces nombres des valeurs commensurahles suffisamment approchées ; en d'autres termes : le résultat d'opérations à exécuter sur des nombres incommensurables est la limite des résultats obtenus en substituant à chacun d'eux des valeurs commensurablcs de plus en plus approchées,

127. On nomme rapport d'une grandeur A à une grandeur B de même espèce le nombre par lequel il faut multiplier la

seconde pour avoir la première. On désigne ce rapport par^g.

128. Le rapport de deux grandeurs A et B de même espèce est égal au nombre qui mesure la première lorsqu'on prend la seconde pour unité.

En effet, si le rapport donné est, par exemple, ^j la pre-

mière grandeur est le produit de la seconde par^(127);

mais multiplier une grandeur par^? c'est en prendre les^-

La première grandeur est donc les > de la seconde, et, par

suite (124), ^ est le nombre qui mesure la première grandeur

lorsqu'on prend la seconde pour unité.

129. Si le rapport deÂàB, c'est-à-dire (127) le nombre par lequel il faut multiplier B pour avoir Â, est incommensurable, désignons-le par r, et appelons m le nombre qui mesure A, B étant pris pour unité. Soient

d'ailleurs - et deux valeurs approchées à moins de -? l'une par

défaut, l'autre par excès, du rapport r. On aura alors (127)