Rayons des sphères tangentes à quatre autres

Supposons que, des cinq points A,, A,, A,, Â^ , Â^, que nous venons de considérer, les quatre premiers soient les centres de quatre sphères fixes dont les rayons r,^ r,, r^, r^, sont donnés; désignons par p le rayon inconnu et par A^ le centre d'une sphère tangente aux quatre autres. En posant, dans la relation (7),

on aura une équation qui déterminera p.

Quelques transformations simples, que nous laissons au lecteur le soin de chercher, permettent de donner à cette équation la forme suivante :

il -r, -r, -r, -r,

W i-r. r\ r]-^r\^d,, r\^r\^d,, rj^rj-c/,,

i-r, rî-i-r;-rf„ r\ r\-\-r\-d^^ r\^r\-d^^

i-'-a rl-^-rl-d^^ r;-+-r;-rf„ r\ rSH-rJ— é^^

i-r, rj-f-r»-^,, rj-hr?— ^,, r\-^r\—d,^ r\

Cette équation, due à M. BAuer (Journal de SMémilch, t. V), est du second degré, et elle ne change pas quand on y change simultanément les signes de r,, r^ , r^, r^. D'après cela, à chaque choix de signes pour r,, r^^ r^^ r^^ répondent deux racines : l'une se rapporte à un mode de contact relatif aux signes considérés, et Tautre au mode de contact relatif aux signes opposés ; de telle sorte qu'en faisant varier les signes de r,, r,, Tj, r,, on trouve les seize solutions que comporte le problème (919), groupées deux à deux.

En opérant d'une manière analogue, on obtiendrait une équation donnant les rayons des cercles tangents à trois cercles fixes ; cette équation est celle qu'on trouve en supprimant dans le déterminant (7), la dernière verticale et la dernière horizontale ; en faisant varier les signes de ''n ''s» ^3 1 on trouve de même les huit solutions (387) groupées deux à deux.

Ces notions montrent assez l'utilité de l'application des déterminants à la Géométrie. Pour plus de détails, on pourra consulter un Mémoire de de M. Joachimsthal, dans le tome XL du Journal de C relie; un Mémoire de M. Brioschi, dans le tome L du même Recueil, et enfin le Mémoire déjà cité de M. Cayley.