II. 3o
OU
d*où l'on voit que p^ p^, Pty -- seraient entiers comme p^ et />, ; mais •d'après le raisonnement fait dans l'alinéa qui précède, toutes les fractions
El. A, A, Z?,,,.., P. Pi Pi Pi
ont des valeurs moindres que l'unité. Donc les nombres entiers p^, y;?,, /^„ Pi' Pm--'i formeraient une suite indéfinie et décroissante y ce qui est absurde.
3** La rmlcur de la fraction proposée F est incommensurable. — En effet» on a
Or, puisque les nombres a, b^, ù^^ b^,, .. sont entiers et que G est incommensurable, 7 pT est aussi incommensurable: par suite, il en est
de même de j et ainsi de suite, en remontant jusqu'à F.
^-' A, -G 3. Le nombre tt est incommensurable.
En effet, pour j:= ^ j le premier membre de la relation (i) se réduit à
l'unité; si donc - pouvait être représenté par une fraction à termes a entiers f, on devrait avoir
I — d'où S — a =
p ---, ip-
or, cette égalité est absurde, puisque le premier Itnembre est entier et
que la fraction continue du second membre, étant de la forme considérée au n"" 2, ne saurait représenter un nombre commensurable.
4. Le carré du nombre n est incommensurable. En effet, pour x = tt, la relation (1) devient
d'où
donc, si n^ pouvait être représenté par une fraction à termes entiers ^,
on devrait avoir
or, cette fraction continue, étant encore de la forme considérée au n"" â, a une valeur incommensurable : elle ne peut donc pas être égale à 3.
Cette Note ne diffère que par la rédaction et par quelques modifications partielles de la Note IV de Tancienne Géométrie de Legendre.
SUR l'application DBS DÉTERMINANTS A LA GÉOMÉTRIE.
i. jéire (lu triangle en fonction : i° des coordonnées des sommets; a" des longueurs desmcôtés.
Soient : 0^- et Oj deux axf>s de coordonnées rectangulaires situés dans le plan du triangle A, A, A3; x, et jr,, x^ et /,, x^ et jj, les coordonnées respectives des sommets A,, A,, A^; et r/,,, rtf,,, ^/^,, les carrés des longueurs des côtés A,Aj, A^Aj, A3 A,. L*aire S du triangle est Texcès
Fig. 579.
[fiS'^l^) du trapèze A, A3 A3 A' sur la somme des trapèzes A, A, A', A', et Aj A3 A3 A j . On a donc
aS = [x^ — x^i (r^-f-j.) - (^3—^,) [y\-^r.,) - \^\-^y){)\-^y\) ou
(1) ■ -iS-- 1 U7, .>-.,
On peut mettre ce déterminant sous les deux formes suivantes :
aS = -
I o .r, ^r, I o .r, r, > 0 or^ J^3
en multipliant membre à membre, on trouve alors, d'après la règle de
multiplication des déterminants,
I x^x,-hy,y^ ^t-^.-^fiX,
Multiplions les trois dernières horizontales par — 2 , puis divisons la première verticale par —2; le déterminant sera multiplié par 4- Cela fait, aux trois dernières horizontales ajoutons la première successivement multipliée par x]-hjr]t ^l-^fl> ^l-^J^h ^^ de même, aux trois dernières verticales, ajoutons la première successivement multipliée par les mêmes facteurs; le déterminant ne sera pas altéré par ces dernières transformations, et si Ton se rappelle la formule bien connue
'L={^i-^kT-^{Xi—xJ^
on aura finalement
2. Volume de la pyramide triangulaire en fonction : i^ des coordonnées des sommets; 2* des longueurs des arêtes.
Soient : ox\ o/, oz, trois axes de coordonnées rectangulaires; ( J^„ /,, «, ), (•^îî Ji» ^3)» (-^31^?, 23)1 (^4» ^4» ^i)> îes coordonnées des sommets A,, A„ A3, A^; ^/„, //,3, </,<, rf,3, rf„, d^ les carrés des longueurs des six arêtes.
Le marche est absolument pareille à celle que nous avons suivie pour le triangle. En projetant les sommets sur le plan xoy^ on verra que le volume du tétraèdre est la somme algébrique do troncs de prismes triangulaires dont les bases ou sections droites s'évalueront à l'aide de la formule (1), et Ton obtiendra pour le volume Y du tétraèdre
ï -^4 Xk «»
puis, en opérant sur ce déterminant comme nous Tavons fait sur le déterminant (1), et observant que
'^ft = (-^i- •^*)*-^ (/.—/»)' -*- (^i- 2* )N
on trouvera
NOTB
rf.3
rf..
rf»
rf.
' rfa.
rf«
En égalant à zéro les déterminants (2) et (4]i on obtient évidemme les conditions pour que trois points soient en ligne droite ou pour q\ quatre points soient dans un même plan. Les formules (2) et (4), abstra tion faite de la notation des déterminants, ont été données par Euler, dey les Mémoires de Pétersbourg.
3. Relation entre les distances mutuelles: i** de quatre points si tin sur un même cercle; 2** de cinq points situés sur une même sphère.
Soient: (x„ j,), (x^,x^\ (^^^r^\ [^a^tX ^es coordonnées reclangt iaires des quatre points A,, A,, A3, A^; et r/.^, rf,,,. . ., d^,.. . les carrd de leurs distances mutuelles. Ces points étant sur un même cercle , c aura, d'après la Géométrie analytique,
x\ -\-y\ -\-a-\-bx^-¥- c/, = o, x\^y\-\-a'^bx^'^ ry\ = o,
xj + ^ J -h « H- ^j-^ -h cr^ = o . Par suite, le déterminant
*î+ji
^l + rl
•rJ+rî
qui résulte de Télimination des constantes a, b, r, est nul, et il en ps( évidemment de même du déterminant
« ^î^-/î — ax, -27-,
Or, il suffit de multiplier ces deux derniers déterminants par la règle
NOTB II. 47 ' •
connue et d'égaler le résultat à zéro pour avoir la relation cherchée :
rf,.
Un calcul tout à fait analogue donne
pour cinq points situés sur une même sphère.
La relation (5) revient au fond au théorème de Ptolémée (240); la relation (6) a été donnée sous une autre forme par Feuerbach. — Nous avons suivi la marche indiquée par M. Cayley dans le tome II du /ou mai rie Cambridge.
4. Reiation entre ies distances mutuelies de cinq poinis situés d'une manière quelconque dans l'espace.
Cette relation, indiquée d'abord sous une forme trop concise par Lagrange, puis reprise et développée par Carnot, a été enfin présentée sous une forme lumineuse et mnémonique par M. Cayley à l'aide des déterminants.
Pour l'obtenir, il suffît d'imiter la marche précédente, c'est-à-dire d'égaler à zéro le produit des deux déterminants
x]-{-y'\-\-z\ I — aa:, — V'i — ^2, o
qui sont évidemment nuls l'un et l'autre, puisqu'ils renferment une verticale à élément%nuls. En désignant par r/,, , '/.j, . . . les carrés des distances mutuelles, on trouve
rf»
rf«
rf.,
rf.,
