LIYRB II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

RfiapROQUBMENT^ si deux grandeurs sont proportionnelles : x"* la relation

montre que pour « = «' on a b=^b\ c'est-à-dire qu'à des valeurs égales de la première grandeur correspondent des valeurs égales de la seconde; 2° la même relation donne

rt' ■" //

c'est-à-dire qu'à la somme de deux valeurs quelconques de la première grandeur correspond la somme des deux valeurs cor-respondantes de la seconde.

Ainsi, correspondance dans l'égalité et correspondance dans la sommcy telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes de la proportionnalité de deux grandeurs. Si l'une des deux conditions est seule remplie, il n'y' a pas proportionnalité; c'est ce qui arrive pour un arc et sa corde : à des arcs égaux d'un même cercle correspondent des cordes égales (99); mais la corde BC de la somme de deux arcs {Jig, 86) est moindre (î28) que la somme AB -h AC des cordes de ces arcs.

THÉORÈME

136. Tout angle a la même mesure que l'arc qu 'il intercepte sur une circonférence décrite de son sommet comme centre, avec un rayon quelconque, poun^u que l'on prenne pour unité d'angle l'angle au centre qui intercepte sur cette circonférence rare choisi pour unité d'arc.

En effet, soient {Jig. 86) AOB l'angle à mesurer et AB Tare qu'il intercepte sur la circonférence de rayon arbitraire OA; AC étant l'unité d'arc, l'angle correspondant AOC sera, par hypothèse, l'unité d'angle. On a ( 134-)

AOB arc AB AOC^arcAC'

Or le premier rapport est égal au nombre qui mesure l'angle AOB (128), et le second est égal au nombre qui mesure l'arc AB. Donc» dans le système d'unités adopté, le nombre

74 GÊOMfiTRIB PLANE.

qui mesure l'angle AOB est le même que celui qui mesure rare AB.

Fig. 86. Fig. 87.

Comme ce théorème est d'un usage très-fréquent, on pré» fère l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte. D'abord on sous-entend la condition relative à la correspondance des unités; puis on dit a pour mesure, au lieu de a la même mesure que; et l'on arrive ainsi à cet énoncé usuel : tout angle au centre a pour mesure Varc compris entre ses côtés,

SCOLIB.

137. Lorsqu'on prend l'angle droit pour unité, l'arc unité est alors le quart de la circonférence ou le quadrant; car, si l'angle au centre AOB est droit {fig, 87 ), les quatre angles AOB, BOC, COD, DOA, formés par les deux diamètres BOD, AOC, sont droits, et par suite égaux; les quatrearcs AB, BC, CD, DA, sont donc égaux entre eux, et chacun d'eux est le quart de la circonférence.

THÉORÈME

138. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de rare compris entre ses côtés.

Soit BAC un angle inscrit dans un cercle 0. Pour démontrer que cet angle a pour mesure la moitié de l'arc BC compris entre ses côtés, il convient de distinguer trois cas :

1*» Le centre 0 tombe sur l'un dés côtés AC de l'angle BAC [fig, 88). Menons le rayon BO; le triangle BOA étant isocèle, les angles A et B sont égaux, et comme (76) leur somme équivaut à l'angle extérieur BOC, l'angle A est égal à la moitié de BOC; mais ce dernier angle, ayant son sommet au centre du cercle, a pour mesure l'arc BC. Donc l'angle proposé BAC a pour mesure la moitié de l'arc BC.