Dans le même cercle ou dans des cercles égaux

1' Deux angles au centre égaux interceptent des arcs égaux;

2" Si un angle au centre est la somme de deux autres angles au centre, l'arc inteixepté par cet angle est la somme des arcs interceptés par les deux autres {Jîg- 85),

Fig. 85.

I" Soient AOB, A'O'B', deux angles au centre, égaux entre eux; les deux arcs correspondants AB et A'B' seront égaux. En effet, en menant les cordes AB, A'B', on forme deux triangles AOB, A'O'B', qui sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: Tangle AOB égal à l'angle A'O'B' par hypothèse, et les côtés OA=rO'A', OB = O'B', comme rayons de cercles égaux. Donc la corde AB est égale à la corde A' B', et, par suite ( 100 ), les arcs AB et A' B' que ces cordes sous-tendent sont égaux entre eux.

2" Soient A'O'B' et BOC deux angles au centre; transportons le premier en AOB à la suite du second, de manière à former (9) un angle AOC qui soit la somme des deux angles proposés. L*arc ABC sera évidemment la somme des deux arcs AB et BC, et comme les arcs AB et A'B' sont égaux, puisqu'ils correspondent à des angles au centre égaux, l'arc ABC sera la somme des arcs A'B' et BC.

THÉORÈME

134. L'angle au centre d'un cercle est proportionnel à l'arc correspondant; en d'aulrcs termes, dans le même cercle ou

dans des cercles égaux, le rapport —fde deux angles au centre est égal au rapport jj des arcs qu'ils interceptent.

En effet, supposons que le rapport -7 des deux angles soii

^> c'est-à-dire que l'angle a soit les ^ de l'angle a'. En dési-

LIVR£ II. — LA GIRGONFÉRfiNGE DB CERCLE. 71

gnani par a le cinquième de Tangle a! , on aura alors

rt=^3a el a' = 5a.

Mais, si Ton appelle 6 Tare intercepté par Tangle a, aux angles au centre

a-haouaa, 2a-+-aou3a, 3a-ha Ou 4^» 4^"^^<^"5a,

correspondront respectivement (133, 2*») les arcs

e4-gou2ê, 26 + 6 ou 36, 36-f-6ou46, 46 4-0 ou 56.

Or, par hypothèse, les arcs qui correspondent aux angles au centre 3 a ou « et 5a ou a' sont fr et fr'; on aura donc

6 = 36 et 6'r=:56,

d'où (130)

j& 3 ri

SCOLIE

135. Le raisonnement qui précède ne s'applique pas seulement aux angles au centre et aux arcs qu'ils interceptent. Il permet de démontrer d'une manière générale le théorème suivant :

Deux grandeurs sont proportionnelles l'une à l'autre si, à deux valeurs quelconques, mais égales, de la première grandeur, répondent deux valeurs égales de la seconde; et si^ de piusy à la somme de deux valeurs quelconques de la première répond une valeur qui soit la somme des deux valeurs correspondantes de la seconde.

En effet, soient a et a' deux valeurs quelconques de la première grandeur, et b et V les deux valeurs correspondantes

delà secondé. Supposons que le rapport — soit, par exemple,

r» c'est-à-dire que a soit les -= de a'. En désignant par a le cinquième de a' y on aura alors

aTzz'ioL et o'rrrSa.

Mais, si l'on appelle ê la valeur de la seconde grandeur qui répond à la valeur ol de la première, aux valeurs

aH-aou2a, 2a-f-aou3a, 3aH-aou4«> 4^ ^"^ ou 5a,

de la première grandeur, répondent respectivement, en vertu de la loi de correspondance admise, les valeurs

o-f-oou26, 26-f-êou3o, 36-i-6ou46, 46-hSou5€,

de la seconde grandeur. Or, par hypothèse, les valeurs de la seconde grandeur qui répondent aux valeurs 3a ou a et 5a ou a! de la première sont ft et 6' ; on aura donc

ft=:3c, 6':z=56,

d'où

Si le rapport — est incommensurable, soient - et — deux valeurs

approchées de ce rapport à - près, Tune par défaut, Taulre par excès.

On aura

d'où, en désignant par a la //''""' partie.de ci\

/ a < « < ( / 4- I ) X et a' — nx.

Mais si 6 est la valeur de B qui correspond à la valeur x de A, aux valeurs /a, (/-f i)a, //a, de A correspondront respectivement les valeurs /•6, (X- -f- i) 6, «6, de B. On aura donc, puisque, d'après l'énoncé, à une plus grande valeur de A correspond nécessairement une plus grande valeur de B,

/S<Z»<(X + i)'' et b'=n^*, c'est-à-dire

- b <ih <, b ou - < -.- <

Par suite, les deux rapports — ? yr» étant compris entre deux nombres -

et - + - qui, pour // assez grand, diffèrent aussi peu qu'on veut, ne sauraient avoir aucune différence assignable.