LIYRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

inscrits ADC, ACD, qui ont respeclivement pour mesure - BC

et ;de.

THÉORÈME

142. Tout angle BAC, formé par deux sécantes qui se rencontrent hors du cercle, a pour mesure la demi-différence de l'arc concave BC et de l'arc convexe DE compris entre ses côtés {Jig. Çji^).

En effel, en menant DC, on voit que Tangle BDC, extérieur au triangle DAC, est la somme des angles A et C; par suite, l'angle A est l'excès de Tangle BDC sur Tangle C; sa mesure est donc l'excès de yBC sur J DE, c'est-à-dire {(BC — DE).

En faisant tourner autour du sommet A l'un des côtés, ou même les deux côtés de l'angle, jusqu'à ce qu'ils deviennent tangents à la circonférence, on voit que le théorème subsiste pour l'angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent hors du cercle, et pour l'angle de deux tangentes.

143. Dans la portion de plan située au-dessus d'unedroiteBC, le lieu des points d'où l'on voit cette droite sous un angle donné est un arc de cercle passant par les extrémités B e/ C de cette droite [fig. 94).

En effet, soient A un point du lieu et BMACN la circonférence déterminée par les trois points A, B, C. i^De tout point M de l'arc BMAC on voit la droite BC sous un angle égal à BAC (140); 2» de tout point I pris à l'intérieur du segment BMAC, on voit la droite BC sous un angle BIC plus grand que BAC, puisque (141) sa mesure excède la moitié de l'arc BNC; 3*» de tout point E extérieur au segment BMAC et situé au-jlessus de Ja droite BC, on voit cette droite sous un angle BEC moindre que BAC, puisque sa mesure est plus petite que la moitié de l'arc BNC (142). L'arc BMAC est donc le Heu cherché.

11 résulte de là que l'arc BA'C, sur lequel s'applique l'arc BMAC lorsqu'on replie la figure autour de BC, est, au-dessous deBC, le lieu des points d'où l'on voit la droite BC sous l'angle donné.

Donc enfin, le lieu des points d'où l'on voit une droite BC

78 GÉOMÉTBIE PLANE.

SOUS un angle donné se compose de deux arcs de cercle égaux entre eux et passant par les extrémités B et C.rfe cette droite. Remarquons, en outre, que Fensemble des arcs BNC, BN'C, représente le lieu des points d'où l'on voit l'a droite'BC sous un angle supplémentaire de Tangle cdnsidëté (HO).

• Fig. ^. Fig. 95.

Si l'angle considéré est droit, les deux arcs BAC, BA'C, sont des demi-circonférences décrites sur BC comme diamètre. Donc, le lieu des points oà l'on voit une droite sous un angle droit est le cercle décrit sur cette droite comme diamètre.

144. Dans tout quadrilatère convexe inscrit dans un cercle y les angles opposés sont supplémentaires.

En effet (^g^. gS), considérons par exemple les angles opposés, B et D. La corde AC détermine deux segments ADC, ABC, et nous avons vu (140) que tout angle D inscrit dans le segment supérieur est le supplément de tout angle B inscrit dans le segment inférieur.

Réciproquement, si, dans un quadrilatère convexe ABCD ifig'9^)> àeux angles opposés B e/ D sont supplémentaires^ le quadrilatère est inscriptible ; en d'autres termes, la circonférence déterminée par les trois points A, B, C, passera par le quatrième sommet D.

£n effet, le sommet D est un point situé au-dessus de AC, et d'où l'on voit la corde AC sous un angle supplémentaire de l'angle B; or l'arc AMC est le lieu des points du plan qui jouissent de cette propriété (143).