LIVRE II. — LA CIRCONFÉRBNCB DE CERCLE.. I l

139. Étant donnés un triangle, le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits, démontrer : i** que les quatre points de contact qui se trouvent sur un même côté (deux intérieurs et deux extérieurs) sont deux à deux équidistants du n^ilieu de ce côté; 2** que la distance d'un point de contact extérieur, au plus éloigné des deux sommets situés sur le môme côté, est égale au demi-périmètre du triangle ; 3** que la distance du point de contact du cercle inscrit à Tun des sommets situés sur le môme côté est égale au demi-périmètre diminué du côté opposé à ce sommet; 4** que la distance des deux points de contact intérieurs situés sur le côté considéré est égale à la différence des deux autres côtés du triangle ; 5*" que la distance des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des deux autres côtés du triangle ; &* que la distance du point de contact du cercle inscrit à l'un des points de contact extérieurs est égale à celui des deux autres côtés du triangle qui aboutit au sommet situé entre ces deux points de contact.

iAO. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, 0 celui du cercle inscrit, et 0', 0*, 0'*, les centres des cercles ex-inscrits respectivement situés dans les angles À, B, C; démontrer : i'' que le cercle circonscrit passe par les milieux des droites 00', 00', 00'"; a* que les quatre points 0, B, C, 0', sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D; 3' que les points 0", B, G, 0'", sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D.

141. Si l'on désigne par R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC; par r celui du cercle inscrit, par r', r*, r'", ceux des cercles exinscrits; par^, ^', S\ les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circonscrit sur les côtés; par fi, p', /a", les portions de ces perpendiculaires comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a les relations

ù -{- S' -\- S" ^. R-fr.

La dernière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est situé à Tin rérieur du triangle. Dans le cas où le point D est extérieur, comment faut-il modifier cette relation?