Deux triangles ABC, A'B'C, sont semblables

1° Lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun ; 2° Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels ;

3** Lorsqu'ils ont les côtés proportionnels,

1*» Supposons qu'on ait (Jig. i53)

A = A', Br^B'.

Prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur AD égale à A'B', el menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE

Fis. »53.

sera semblable à ABC (20/i), el il suffilde démontrer Tégalité des triangles ADE, A'B' C.

Or, les angles A ei A' sont égaux par hypoihèse ; Tangle ADE est correspondant de Tangle ABC, qui, par hypothèse, est égal à B'; enfin, le côté AD est égal à A'B' par construction. Donc les deux triangles ADE, A'B'C, sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux.

2° Supposons qu'on ait

prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur AD égale à A'B', et menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE sera semblable au triangle ABC (204), el il suffit de démontrer l'égalité des triangles ADE, A'B'C

Or, la similitude des triangles ABC, ADE, donne la proportion

AB AC ("^ ÂD^^ÂÊ'

qui a les mêmes numérateurs que la proportion (i) ; les dénominateurs AD et A'B' d^s deux premiers rapports étant en outre égaux par construction, il faut que AE == A'C; les deux triangles ADE, A'B'C, sont donc égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux.

3"* Supposons qu'on ait