AD DE EA ^^^ AB^BC CÂ

qui présente les mêmes dénominateurs que la série (i). Par suite, les numérateurs AD, A'B', des deux premiers rapports étant égaux par construction, il faut qu'on ail aussi

DEz=:B'C', EA i^C'A';

l36 GÉOMÉTRIB PLiJVB.

les deux triangles ADE, A'B'C, sont donc égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun.

Corollaires.

207. Deux triangles sont semblables, lorsqu'ils ont leurs côtés respectivement parallèles ou respectivement perpendiculaires^ car, dans l'un et Tautre cas, ces triangles ont leurs angles égaux chacun à chacun (80).

208. Deux triangles rectangles sont semblables, lorsqu'ils ont un angle aigu égal.

SCOLIES

209. Il résulte du n" 206 que, dans les triangles, l'égalité des angles entraîne la proportionnalité des côtés, et réciproquement. Celte propriété fondamentale, dont la découverte est attribuée à Thaïes (639-548 av. J. C.), ne subsiste pas pour des polygones quelconques. Par exemple, un carré et un rectangle ont leurs angles égaux, et cependant leurs côtés homologues ne sont pas proportionnefs. De même, un carré et un losange ont leurs côtés proportionnels, et cependant leurs angles ne sont pas égaux.

210. Le tableau suivant, dans lequel nous avons réuni les cas d'égalité et les cas de similitude de deux triangles, en les faisant correspondre un à un, permet de comparer les deux théories.

Deux triangles sont :

égaux, I semblables,

lorsqulls ont :

i** Deux angles égaux comprenant

un côté égal ; a° Un angle égal comprjs entre deux

côtés égaux; 3° Les trois côtés égaux.

i^ Deux angles égaux;

2? Un angle égal compris entre deux

côtés proportionnels; 3"* Les trois côtés proportionnels.

On voit que chaque cas de similitude ne renferme que deux conditions, tandis que l'égalité en exige toujours trois.

211. Il importe en outre de remarquer le mode uniforme de démonstration que nous avons adopté au n*» 206. Le pro-

cédé consiste à prendre» sur un côté du premier triangle, à partir du sommet, une longueur égale au côté homologue du second ; puis à mener, par le point ainsi déterminé, une parallèle à l'un des deux autres côtés du premier triangle. On construit ainsi un triangle auxiliaire qui, d'après le lemme du n** 204, est semblable au premier ; et les conditions renfermées dans rhypothèse permettent ensuite de démontrer aisément que ce triangle auxiliaire est égal au second triangle, en vertu du cas d'égalité qui correspond au cas de similitude que l'on étudie.

212. Enfin, il reste à montrer Tusage de cette théorie, c'està-dire à indiquer de quelle manière les cas de similitude interviennent dans la démonstration des théorèmes. Deux triangles semblables satisfont à cinq conditions, et chaque cas de similitude comprend deux de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les cinq soient remplies. Dès lors, quand, dans une certaine figure, on aura reconiui la similitude de deux triangles par l'application de l'un des trois cas, on devra en conclure immédiatement que les trois autres conditions sont remplies, et l'on aura acquis de cette manière de nouvelles données qui permettront d'aller plus loin.

THÉORÈME

213. Deux polygones y composés d*un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont semblables [fig* i54).

Fig. 154.

Soient ABF, FBE, EBC, CED, et A'B'F', FB'E', E'B'C, C'E'D', deux séries de triangles respectivement semblables et semblablement disposés; le polygone ABCDEF, formé par les

l38 GÉOMÉTRIE PLANE.

premiers triangles, est semblable au polygone A'B'C'D'E'F' que forment les seconds.

En effet :

1» Les angles des deux polygones sont égaux, soit comme angles homologues de deux triangles semblables, soit comme sommes d'angles homologues de plusieurs triangles semblables. Ainsi, les angles A et A' sont égaux comme angles homologues des deux triangles semblables BAF, B' A' F', tandis que langle B est égal à Tangle B' comme étant la somme des trois angles ABF, FBE, EBC, respectivement égaux aux trois angles A'B'F', F'B'E', E'B'C, qui composent Tangle B'.

2« Les côtés homologues sont proportionnels, car on a successivement :

A cause des triangles semblables ABF, A'B'F',