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220. Kéciproquemknt, lorsque plusieurs sécantes AA', BB', ce, DD', coupent deux parallèles en parties proportionnelles^ ces sécantes concourent en un même point [fi^* 167, 1 58).

Appelons -r le rapport de deux parties correspondantes quel-

LITRV III. — LKS FIGURES SEMBLABLES. J^Z

conques des deux parallèles, de sorte qu'on ait

AB "~ AC "~ BC b'

I*» Si les deux séries de points A, B, C, D, et A', B', C, D', présentent une disposition inverse Tune de l'autre {Jig. i58), deux sécantes quelconques AA' et CC se coupent en un point 0 intérieur aux deux parallèles ; de plus, les triangles semblables OAC, OA'C, donnent

OV A^C^ a OA ~ AC "" //

Ainsi, l'une quelconque CC des sécantes coupe la première d'entre elles AA', en un point 0 situé entre A et A' et tel que

OA' a OA ~«*

Toutes les sécantes concourent donc en ce point 0 (187).

1"* Si les deux séries de points A, B, C, D, et A', B', C, D\ sont disposées de la même manière (Jig. 157), on verra de même qu'une sécante quelconque CC coupe la première AA' en un point 0 situé hors de AA' et tel que

OA' g OA "" h'

Toutes les sécantes concourent donc aussi en ce point 0 ( 187). Lorsque le rapport j- est égal à l'unité, les parties correspondantes des deux parallèles sont égales entre elles, et les sécantes sont toutes parallèles. Le théorème énoncé subsiste donc, à la condition de regarder deux parallèles comme deux droites qui concourent à V infini,

§ IV. — RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES DIFFÉRENTES PARTIES DUN TRIANGLE.

DÉFINITIONS

221. On appelle projection d'un point A sur une droite indéfinie XY le pied a de la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite (fig. iSg).

l44 GÉOMlfiTRIE PLANS.

Si l'on considère une droite limitée AB, la projection de celte droite sur XY est rintervalle ab qui sépare les projections de ses extrémités A et B.

Fig. iSg.

THÉORÈME

222. Si du sommet A de V angle droit d'un triangle rectangle ABC, on abaisse la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse .• 1° chaque côté de l* angle droit est moyenne proportionnelle entre r hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse; 2** /a perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les deux segments BD et CD de l* hypoténuse [fig* 160).

Fig. 160.

En effet :

i*» Les droites AC et AD sont anti-parallèles par rapport à Fangle B (195), prisqu'elles font un angle droit, l'une av^c le côté BA, l'autre avec le côté BC. On a donc ( 198)