BÂ'=BC.BD

et Ton démontrerait de même la relation CA =BC.CD.

2» Les droites AC et AD étant anti-parallèles par rapport à l'angle B, les angles BAD et C sont égaux (195); par suite, si l'on amène le triangle ADB en ADB' en le faisant tourner autour de AD, l'angle B'AD sera égal à l'angle C, et les deux droites AB' et AC seront anti-parallèles par rapport à l'angle ADC. On aura donc

Ad'=B'D.CD ou Âd'=:BD.CD.

Corollaire.

223. En joignant un point quelconque A d'une circonférence aux extrémités B et C d'un diamètre {fig. 160), on forme un triangle rectangle (li-S). De là, une nouvelle manière d'énoncer la proposition précédente :

I® Toute corde AB d'un cercle est moyenne proportionnelle entre le diamètre BC qui passe par Vune de ses extrémités et sa projection BD sur ce diamètre;

1^ La perpendiculaire AD, abaissée d'un point quelconque A d'une circonférence sur un diamètre BC, est moyenne proportionnelle entre les deux segments BD et CD de ce diamètre.

THÉORÈME

224. Les trois côtés d'un triangle rectangle étant évalués en nombres au moyen d'une unité commune y le carré du nombre qui mesure l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des nombres qui mesurent les deux côtés de l'angle droit; ou, plus brièvement, dans tout triangle rectangle^ le carré de V hypoténuse est égala la somme des carrés des deux autres côtés.

En effet, en ajoutant les deux relations (222, i"") :

âb' = bc.bd, âc' = bc.cd,

on obtient

ÂB'-hÂc' = BC(BD-hCD) ou Âb' -+- Ac' = BC'.

Corollaires.

225. Ce théorème permet de calculer l'un des côtés d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.

Si l'on connaît les deux côtés 6 et c de l'angle droit, l'hypoténuse a résulte de la formule

a» = 6> -+- c', d'où a = sjb^ -+- c' .

Ainsi, soient ft--3, c = ^, on a az=: \'^-h 16== ^-lù ~5. Si l'on connaît Thypoténuse a et l'un des côtés b de l'angle droit, on trouve l'autre côté c par la formule

a' — 6% d'où c = sja^

Ainsi, pour « = 5 et ft == 3, on a c — ^1^ — 9 =z v^i6 = 4.

l46 GÉOMÉTRIE PLANE.

Il résulte encore de la proposition précédente que le rapport de la diagonale d'un carré au côté de ce carré est égal à ^2. La diagonale AC est en effet l'hypoténuse d'un triangle

Fig. i6i.

rectangle et isocèle ABC {Jig. i6i), dans lequel on a

ÂC' =- AB ' -h BC' = 2 . Âb\ d'où

AC* AC r