BD=:BC-CD

ei, par suite, d'après un théorème connu d'Arithmétique (*), BD" = BC' -h Cd' — 2BC.CD.

En portant cette valeur de BD dans la relation (1}, on trouve Ab' = BC' -h CD* -f-Âo' — 2BC.CD ;

et, comme le triangle rectangle ACD donne on a finalement

CD'-f.AD' = AC ,

Ab' =r BC' -f^ AC' - 2BC.CD.

Dans le second cas (fig. i63), la démonstration est la même. Il est vrai que, au lieu de

BD = BC— CD, ona BD — CD — BC;

mais comme, en vertu du théorème d'Arithmétique cité, le carré de BD reste le même, et que c'est ce carré seul qui figure dans la démonstration, on voit que tout le raisonnement subsiste.

THÉORÈME

227. Si l'un des angles d*un triangle est obtus, le carré du côté opposé à cet angle est égal à la somme des carrés des

(*) Le carré de la diflerence de deux nombres est égal au carré du premier nombre, plut le carré du second, moins le double produit de ces deux nombres.

l48 GÉOMÉTRIE PLANE.

deux autres côtés, plus deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier [fig* i64).

Fig. i6/|.

Soient ABC le triangle proposé, C l'angle obtus, et CD la projection de AC sur BC ; il s'agit de démontrer la relation

AB ^BC -hAC -hiBC.CD.

Le triangle rectangle ABD donne

(i) AB'=rBD*-hAD'

Or, puisque Tangle ACB est obtus, la perpendiculaire AD tombe hors du triangle (4>3), et le point D est extérieur à BC; on a donc

BD = BC -h CD,

et, par suite, en vertu d'un théorème connu d'Arithmétique ( * ).

BD* = BC' -h Cd' -I- aBC.CD.

En substituant cette valeur de BD dans la relation (i), on trouve

AB' — BC* + CD* -f- ad' -f- 2BC.CD ;

et, comme le triangle rectangle ACD donne

cdVâd*z=Ic\

on a finalement

Âb'^BcV ÂcV 2BC.CD.

(*) Le curre de la somme de deux nombres es»t égal au^arré du premier, plui le carré du second, plus le double produit de ces deux nombres.

UVRB 111. — LBS FIGUBBS SEMBLABLES. \^g

COBOLLAIBES.

228. 11 résulte des trois théorèmes précédents que, dans un triangle f le carré d'un côté est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres j suivant que l'angle opposé à ce côté. est aigu, droit ou obtus; donc, réciproquement (40), un angle d'un triangle est aigu, droit ou obtus, suivant que le carré du côté opposé à cet angle est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si a = 5, ft = 4> ^ = 3, l'angle A est droit et le triangle est rectangle, puisque 25 = 16-1-9. De même, si «mil, 6=9, e=:8, Tangle A est aigu, puisque 11* ou 121 est moindre que 9' -h 8% c'est-à-dire que 81 -+-64 = i^S.

229. Comme application des théorèmes qui précèdent, nous allons calculer les hauteurs d'un triangle en fonction des côtés. Nous désignerons par ABC le triangle considéré, et par a, /;, r, les longueurs des côtés respectivement opposés aux angles A, B, C.

Cherchons la hauteur ÂD = h issue du sommet A. Des deux angles B et C, l'un au moins est aigu; supposons que ce soit Tangle C (Jig, i63). On a d'abord, dans le triangle rectangle ADC (225),

puis, dans le triangle ABC (226),

c' = rt^-f-i>» — 2«.CD.

On déduit de là

et la première relation devient

ou, en vertu d'un théorème d'Arithmétique {*),

[a-irb-\-c] (fl-t-/^ — f) [c-^a — b') [c — a-\-b) 4«'

(* ) La différence des carres de deux nombres est égale au produit de la somma de ces deux nombres par leur différence.

l5o GÉOMÉTRIB PLANE.

Or, si l'on désigne par p le demi -périmètre du triangle ABC, c*esl-è-diro si Ton pose

on a

b-\-C'^a=z'i.p — art = a (/?—«),

a-^-b — c = ip — 2C= i[p — c).

En portant ces valeurs dans l'expression de /**, simplifiant et extrayant la racine carrée, on obtient

Exemple, Pour les hauteurs /*, h\ A", du triangle dont les côtés sont i3, 9 et C, on trouve

THÉORÈME

230. La somme des carrés de deux côtés d'un triangle est égale à deux fois le carré de la médiane relative au troisième côté, plus deux fois le carré de la moitié de ce troisième côté (/ig.i6S).

Fiç. i65.

Soient ABC le triangle proposé, AD la médiane relative au côté BC, c'est-à-dire la droite qui unit le sommet A au milieu de BC, et AE la perpendiculaire abaissée du point A sur BC.

L'angle ADB étant aigu, on a dans le triangle ADB

Xb' n= Âd' 4- BD' — 2BD .DE.

L'angle ADC étant obtus, on a dans le triangle ACD

Âc' = ÂD V CD' -h 2 CD.DE.

En ajoutant ces deux égalités et en observant que CD = BD, on trouve

(l) AB'-*-AC'=:2AD'-4-2BD!

UYBB III. — I.BS FIGURES SEMBLABLES. l5l

GOEOLLAIBES.

231. Considérons un quadrilatère ABCD [fg. i66), et soient E et F les

Fig. 166.

milieux des deux diagonales ÀC et 6D. En appliquant le théorème qui précède successivement aux triangles* ÂBG et ÂDG, on a

ÂB V BC'= aÂËVaffi',

CD V DÂ^= aÂE 4- a DE*;

d'où , en ajoutant et en désignant par S la somme des carrés des quatre côtés du quadrilatère ,

S = 4ÂË'H-a(BiVDÊ').

Or, dans le triangle BED, on a

BË V râ' = a BF V alF*.

Donc, enfin,

S = 4ÂiV 4BF V4ÊF*= Âc'-hBb'-h4ÊF'.

Ainsi, dans tout quadrilatère, la somme clés carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des deux diagonales, plus quatre fois le carré de la droite qui unit les milieux de ces diagonales.

Pour que le quadrilatère soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les points E et F coïnéident (85, 86). Donc, dans tout parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales^ et réciproquement, si la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère est égale à la somme des carrés des deux diagonales , ce quadrilatère est un parallélogramme,

232. Revenons au triangle ABC [fig. i65). Si les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de manière que la somme des carrés des côtés AB et AC reste constante, la relation (1) du n*" 230 montre que la valeur de la médiane AD restera constante. Donc , le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante, est une circonférence ayant jiour centre le milieu de la droite qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour trouver le rayon AD de ce cercle, il

l52 GÉOMfiTRlE PLANE.

suffit de remplacer dans la relation (i) la somme AB -h AC par la constante donnée K' ; on a ainsi successivement

K^=aADVaBD\ Ad'^^-Bd', AD

On voit que le lieu n'existe qu'autant que la condition

est satisfaite.

— >Bd' ou K>BDv^

233. Enfin, comme dernière application du théorème précédent, nous calculerons les médianes d'un triangle en fonction des côtés.

m étant la médiane relative au côté BC = a, on a, par ta relation (i),

b^-\-c^='im^ + 'i(/-^\ d'où m r= -y/iib^-^-c^) - n\

Exemple, Pour les médianes /w, ///', /«", du triangle dont les côtés sont i3, 9 et 6, on obtient

THÉORÈME

234. La différence des carrés de deux calés d*un Iriangle est égale au double produit du troisième côté par la projection sur ce côté de la médiane correspondante.

Soit ABC le iriangle proposé {^g. i65); reprenons les deux égalités

âb' = ad' -*- bd' - 2BD.de,

Âg' ^ AdV Cd' -h 2CD.DE,

considérées au n® 230, et retranchons la première de la seconde, en observant que BD = CD; il viendra

Âc' - âb' = 4bd.de ou âc' - ab' == 2BC.de.

235. Si, les points B et G restant fixes, le sommet A se déplace de

façon que la différence AC — AB reste constante, la relation précédente

prouve que la projection DE de la médiane ne change pas, c'est-à-dire

que la projection E du sommet mobile â sur la droite BC reste fixe. Donc,

— 2 — 2 le lieu fies points A, rlo/it In différence AC — AB (les carrés des distances

à deujc points fixes C cr/ B est constante^ est une droite perpendiculaire h la droite BC qijti unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour avoir la valeur de DE, il suffit de remplacer dans la relation qui précède la dif-

férence AC — AB par la constante donnée K^; on a ainsi successivement

K*= 2BC.de, DE::=.

THÉORÈME