AB

Ainsi, la diagonale et le côté d'un carré sont deux droites incommensurables entre elles, puisque leur rapport est un nombre incommensurable. C'est ce que nous avons déjà démontré par la Géométrie pure (IW).

THÉORÈME

226. Dans tout triangle, le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres côtéSy moins deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier.

Fig. i6a. Fig. i63.

Soient ABC le triangle proposé, C un angle aigu et CD la projection du côté AC sur CB ; il s'agit de démontrer la relation

Ab' = BC' -f- AC' — 2 BC.CD.

Deux cas peuvent se présenter, suivant que la perpendicu-

UYBE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l.\^

laîre AB tombe à rintérieur ou à Textérieur du triangle ABC; le premier cas a lieu lorsque l'angle ABC est aigu, et le second lorsque cet angle est obtus (<h3).

Dans le premier cas (yî^. 162), le triangle rectangle ABD donne

(i) ab'=:Bd'-+-Xd\

Or, puisque le point D est, par hypothèse, situé entre C et B,

on a