AE.AD=-(AD + DE) AD = AD+DA.DE = AD-J-DB.DC

237. En considérant la bissectrice AD' de l'angle extérieur CAF', qui passe évidemment par le milieu E' de l'arc BAC, on déduirait de la similitude des triangles ACD', ABE', la relation

AB.AC = AE'. AD', qu'on transformerait ensuite dans la suivante :

AB.AC = D'B.D'C-ÂD''.

Donc, le produit de deux côtés d'un triangle est égrd au prorluit des

l54 GÉOMÉTRIE PLANE.

deux segments soustractifs que la bissectrice de V angle extérieur détermine sur le troisième côté, diminué du carré fie cette bissectrice.

238. Ces théorèmes permettent de calculer les longueurs des bissectrices en fonction des côtés du triangle.

S*agit-il, par exemple, de la bissectrice AD = a, il suffit de remplacer dans la relation

^ = a»H-DB.DC,

les segments DB et DC par leurs valeurs que l'on déduit (49i ) des équations

PB PC ^ PB 4- PC a

On trouve ainsi, réductions faites, et en désignant par p le dçmj -péri mètre du triangle,

B dçmi-

Un calcul analogue donnerait pour la bissectrice AP' = a' de Tangle extérieur

C ' SCOLIB.

239. Voici une autre expression souvent utile du produit de deux côtés d'un triangle :

Le produit de deux côtes AB, AC, d'un triangle est égal au produit du diamètre AP du cercle circonscrit par la hauteur AE relative au troisième côté (Jîg. i68).

La relation à démontrer

AB.AC = AP.AE ou ^-^ AU AL

résulte immédiatement de la similitude des deux triangles rectangles ABD, AEC, dont les angles aigus P et G sont égaux comme inscrits dans le même segment.

Ce théorème permet de calculer, en fonction des côtés du triangle, le rayon R du cercle circonscrit; il suffit pour cela de remplacer, dans l'égalité

^c = !2R.AE,

la hauteur AE par sa valeur donnée au n° 229 ; on trouve alors

abc

iy/p(p-^a)(p-b)(p-'C)

Pour <i = i3, ^ = 9, c = 6, on a R = 7,416.

THÉORÈME

240. Dans tout quadrilatère inscriptible, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés , et réciproquement.

Fig. 169.

Soit ABCD un quadrilatère quelconque (fig. 169) ; faites l'angle CBI égal à l'angle ABD, l'angle BCI égal à Tangle ADB, et menez AI.

Les deux triangles BCI^ ABD, ayant deux angles égaux chacun à chacun, sont semblables; on a donc