AB BD

^ = ^ ou AB.DC = BD.AI;

et, en ajoutant les égalités (1) et (a),

AB.DC -h AD.BC = BD ( AU- IC).

Comme AG est moindre que AI + IG, on voit qu'en général dans un quadrilatère le produit des diagonales est moindre que la somme des produits des côtés opposés. Pour qu'il y ait égalité entre les deux produits, il faut que AG = AI -h IG, c'est-à-dire que l'angle BGl, égal à l'angle BDA, soit égal à l'angle BGA^ en d'autres termes, que la circonférence déterminée par les points A, B, G, passe par le point D.

241. Soit ABGD (fig, 170) un quadrilatère inscrit; en prenant l'arc AD' égal à l'arc GD, et Tare DA' égal à l'arc AB, on forme deux nouveaux quadrilatères inscrits GBAD', BGDA', qui donnent, en vertu du théorème précédent,

AC.BD'= AB.GD'-f GB.AD', BD.GA'= DG.BA'-f BG.DA'.

l56 GÉOMÉTRIE PLANE.

En divisant membre à membre, et observant que

BD'=CA', CD'=BA'=AD, AD' = CD, DA'=AB, puisque à des arcs égaux correspondent des cordes égales, on trouve

AC AB.AD-hCB.CD BD ~ DC.DA + BC.BA"

Donc, dans tout quadrilatère inscriptibîe, le rapport des diagonales est égal au rapport de la somme des produits des côtés qui aboutissent aux extrémités de la première diagonale à la somme des produits des côtés qui aboutissent aux extrémités de la seconde. La réciproque est vraie,

SCOUE.

24i. Ce théorème permet de calculer les diagonales AC = x^ BD —y^ d'un quadrilatère inscrit en fonction des côtés AB = «, BC = />, CD — r, DA — d. En efiFel, on a, d'après les deux théorèmes précédents,

, X ad-\-hc

XY = GC -\- od, — = — ; ,t

d'où, en multipliant et divisant ces deux égalités membre à membre,

(ac-^-bd) (ab-^cd)

(ac 4- bd) ( ad-Jfbc) X .;-= j — ; — ; et

ab -h cd

ad H- bc