LIVRE II. — LA CiUCOiNFÉRENCE DE CERCLE. II

S) métrique de ABCD. . . par rapport à AB, ce nouveau polygone sera de même sens que A'B'C'D'. . ., lui sera égal et aura avec lui deux points homologues communs A et A', B et B'; donc il coïncidera avec lui, d'après la proposition précédente.

THÉORÈME I

I 7d. Lnrs(]ue deux polygones égaux et de inême sens ABC . . . , A'B'C . . . sont situes dans un même plan, on peut amener le premier sur le second par une rotation autour dhin point du plan {fig. iSa).

II suffit, d'après le n° 174, de montrer qu'on peut, par une rotation, amener A sur A' et B sur B'.

Or construisons sur A'B' un triangle A'B'A" égal à ABA' et de même sens, et soit 0 le centre du cercle qui passe par les trois points A, A', A". Les triangles OAA', OA'A" sont égaux comme ayant les trois côtés égaux ; ils sont, en outre, de môme sens, car deux cordes égales et consécutives AA', A' A' d'un cercle comprennent le diamètre A'O qui aboutit à leur point commun. Donc, si, par une rotation autour de 0, on amène OA sur OA', le triangle OAA' coïncidera (174) avec OA'A"; et, par suite, le triande ABA' coïncidera avec A'B'A"

Fig. i32.

Fi{j. i33.

Il importe de remarquer que le centre de rotation 0 doit être équidistanl de deux points homologues quelconques ; il est donc le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des droites qui joignent deux points homologues quelconques.

Enfin le raisonnement et la conclusion supposent que les points A, A', A" ne soient pas en ligne droite, c'est-à-dire, d'après la construction du point A", que AB et A'B' ne soient pas parallèles et de même sens; s'il en était ainsi, la figure AA'BB' serait un parallélogramme, AA' et BB' seraient donc égales, parallèles et de môme sens, et alors, pour amener A sur A' et B sur B' et, par suite, la première figure sur la seconde, il suffirnil d'opérer sur la première figure une translation, c'est-à-dire de faire décrire à chaque sommet une droite égale et parallèle à AA'.

I l8 GÉOMÉTUIE PLANE.

Corollaires.

176. Quand une figure de forme et de grandeur invariables se déplace dans son plan d'un mouvement continu, chaque point décrit une trajectoire ; soient ABC . . . une position quelconque de la figure, A' B' G' . . . une position voisine; si la seconde figure tend vers la première, les cordes AA', BB'j ce, ... deviennent les tangentes en A, B, C, . .., aux trajectoires de ces points, et les perpendiculaires élevées sur les milieux des cordes deviennent les normales aux trajectoires; comme ces perpendiculaires passent par un même point 0 dont la situation dépend à la fois des deux positions successives ABC. . ., A'B'C . . de la figure, à la limite, ces perpendiculaires, c'est-à-dire les normales, passeront par un même point w dont la situation ne dépend plus que de la position ABC. . . de la figure considérée. Donc, quand une figure se déplace dans son plan, les normales aux trajectoires des divers points, pour une position déterminée quelconque de la figure, passent par un même point w ; ce point lo a reçu le nom de centre instantané de rotation relatif à la position considérée de la figure.

Si l'on sait mener les normales aux trajectoires de deux points de la figure mobile, on aura par l'intersection de ces droites le point w, et il suffira de joindre w à tout autre point de la figure pour avoir la normale et, par suite, la tangente à ^^ trajectoire de ce point.

177. Considérons, en particulier, le déplacement d'une droite AB {fig. i33). Soient co le centre instantané relatif à la position AB, et P la projection de w sur la droite AB, c'est-à-dire le pied de la perpendiculaire abaissée de w sur AB. Quand AB se déplace, le point P, considéré comme invariablement lié à la portion de droite AB, décrit une trajectoire qui, d'après le numéro précédent, a pour normale Pw et, par suite, pour tangente en P la droite PAB. Donc, quand une droite se déplace dans un plan suivant une loi déterminée quelconque, elle reste constamment tangente à une ligne qu'on nomme son enveloppe; et, pour une position quelconque de la droite, le point où elle touche son enveloppe est la projection sur cette droite du centre instantané de rotation correspondant.

Ce point de contact est aussi la limite du point I où la droite AB est rencontrée par sa position infiniment voisine A'B'. En eiïct, soient 0 le point autour duquel il faut faire tourner AB pour amener A en A' et B en B', Q et Q' les projections de 0 sur AB et A'B'. Le point I est l'intersection des tangentes AB, A'B' au cercle décrit du point 0 comme centre avec OQ = OQ' pour rayon ; la distance QI, moindre (}uo (){)\ tend donc vers zéro quand A'B' tend vers AB; donc le point I a la nième