LIVRE II

LA CIHCOiSFÉRENCE DE CERCLE.

limite que le point Q, c'est-à-dire a pour limite la projection P sur AB du centre instantané w relatif à AB.

THÉORÈME II

178. Lorsque deux polygones égaux et de sens opposés ABC... A'B'C. . . sont situés dans un même plan^ on peut amenei^ le premier sur le scnmd au moyen du retournement du plan autour d^ un certain axe et d^une translation rectillgne parallèle à cet axe {J'g. i34).

Fig. i34.

En effet, achevons le parallélogramme AA'B'Ba dont AA' et A'B' sont deux côtés consécutifs; puis, par le milieu I de AA', menons la parallèle L à la bissectrice AE de l'angle BjAB. Le polygone Ai Bi Ci. . ., symétrique de ABC. . . par rapport à L, étant égal à A'B'C. . . et de même sens, il suffît de prouver que la figure A'B'BiAi est un parallélogramme, et que AAi est parallèle à L; car, alors, en repliant le plan autour de L, on amènera ABC... sur AiBiCi...; puis une translation rectiligne égale et parallèle à AiA' et. par conséquent, parallèle à L amènera Ai sur A', Bi sur B' et, par suite (174), AiBiCi... sur A'B'C...

Or AiBi et AB2, étant les symétriques d'une môme droite AB par rapport à deux axes parallèles L et AE, sont égales, parallèles et de môme sens; d'ailleurs A'B' et AB2 sont aussi égales, parallèles et de même sens; il en est donc de même pour AiBj et A'B', de sorte que la figure A'B'BiAi est bien un parallélogramme. D'autre part, a étant le milieu de AA», c'est-à-dire le point de rencontre des deux droites rectangulaires AAi et L, et a' étant la projection de A' sur L, les triangles rectangles Ala, A'Ia' sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et les angles égaux; il en résulte A'a'= Aa = aAi, de sorte que la figure Al A' a' a est un rectangle, ce qui prouve que Ai A' est parallèle à L.

La droite L est également inclinée sur deux côtés homologues quelconques des deux polygones, et elle contient les milieux des droites qui joignent les sommets homologues.