OD' OD
En d'autres termes, le rapport de deux parties correspondantes quelconques des deux parallèles est le même que celui des distances du point 0 aux deux points où l'une quelconque des sécantes rencontre les deux parallèles.
Fig. i58.
215. Béciproquement, lorsque plusieurs sécantes A A', BB', ce, DI)', coupent deux parallèles en parties proportionnelles ^ ces sécantes concourent en un même point (Jig. i58).
Appelons -r le rapport de deux parties correspondantes (juel-
UVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. l45
conques des deux parallèles, de sorte qu'on ait
AB "~ AC ~ BC b
x"" Si les deux séries de points A, B, C, D, et A', B', C, D', présentent une disposition inverse l'une de l'autre [fig. i58), deux sécantes quelconques AA' etCC se coupent en un point 0 intérieur aux deux parallèles; de plus, les triangles semblables OAC, 0 A' C, donnent
QA^ k!ÇJ a OA ~" AC ■" b
Ainsi, l'une quelconque CC des sécantes coupe la première d'entre elles AA', en un point 0 situé entre A et A' et tel que
OA/ « OA ~~ b
Toutes les sécantes concourent donc en ce point 0 (179).
2° Si les deux séries de points A, B, C, D et A', B', C, D', sont disposées de la même manière [fig,. i58), on verra de même qu'une sécante quelconque CC coupe la première AA'* en un point 0 situé hors de AA' et tel que
OA/ a OA " />*
Toutes les sécantes concourent donc aussi en ce point 0 ( 179 ). 21C. Lorsque le rapport -j est égal à l'unité, les parties correspondantes des deux parallèles sont égales entre elles, et les sécantes sont toutes parallèles. Le théorème énoncé subsiste donc, à la condition de regarder deux parallèles comme deux droites qui concourent à l'infini.
THÉORÈME
217. Le lieu des points dont les distances à deux droites fixes ont un rapport donné est un système de deux droites passant par le point de concours des deux premières (fig. iSg)
En efl'et, soient OU et OV les deux droites, et M un point
R. et DE c. — Tr. de Gcom. (!'• Partie). 10
l46 GÉOMÉTRIE PLANE.
quelconque pris dans l'inlérieur de l'angle VOU ou de son opposé par le suinuielj
n' Menons par M les perpendiculaires MP et MQ sur OU et OV el les parallèles MK et MI aux mêmes droites. Quand le point M se déplace d'une manière quelconque dans Tangle UOV, le triangle MPI reste semblable à lui-même, puisque ses côtés
MI
conservent leurs directions; le rapport ^rn l'este donc con-
, . . MK ,3 1
stant; il en est de même du rapport :r|y-- et, par suite, de leur
. ^. MI MQ , ,. . . ,, , , MQ
quotient TrfrFîrr^- I-e lieu des points M pour lesquels ^^
reste constant est donc le même que celui des points pour
MI MI lesquels ^r^^r ou ^ est invariable; mais alors, le triangle MOI
restant semblable à lui-même, puisqu'il a un angle constant OIM compris entre deux côtés dont le rapport est fixe, l'angle MOI de ce triangle reste constant; donc le lieu du point M est une droite OL passant par 0.
De même, dans l'angle VOU' et dans son opposé par le sommet, le lieu est une droite OL' passant par 0.
SCOLIES
218. Lorsque le rapport donné est égal à l'unité, le lieu est l'ensemble des bissectrices des angles VOU, VOU' (53).
219. Au lieu de mesurer les distances du point M à OU et OV perpendiculairement à ces droites, on pourrait les estimer suivant des directions déterminées quelconques, la démonstration el, par suite, le théorème subsisteraient.
