Enfin, si les deux droites données U et V étaient pa
MP
rallèles (Jig. 1^9' ), le rapport constant ^r^^ étant égal à
PQihMQ PQ^ , ^.
— AU^ M^ ' distance MQ serait constante, et le
lieu se composerait de deux droites parallèles aux proposées.
§ IV. — RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES DIFFÉRENTES PARTIES D'UN TRIANGLE.
DÉFINITIONS
221. On ^\)^e[\ei projection d'un point A sur une droite indéfinie XY le pied a de la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite (Jig. 160).
Si l'on considère une droite limitée AB, la projection de cette droite sur XY est l'intervalle ah qui sépare les projections de ses extrémités A et B.
Fig. iCo.
THÉORÈME
222. Si du sommet A de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC on abaisse la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse, i" chaque côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre V hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse; 1° la perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les deux segments BD et CD de l'hypoténuse [Jig. 161).
Fig. 161.
En effet :
1° Les droites AC et AD sont antiparallèles par rapport à J'an^le B (189), puisqu'elles font un angle droit, l'une avec le
l45 GÉOMÉTRIE PLANE.
côté BA, l'autre avec le côlé BC. On^a donc (192).
bâ'=bc.bd,
et l'on dêmonlrerait de même la relation CA =BC.CD.
1° Les droites AC et AD étant antiparallèles par rapport à l'angle B, les angles BAD et C sont égaux (189); par suite, si l'on amène le triangle ADB en ADB' en le faisant tourner autour de AD, l'angle B'AD sera égal à l'angle C, et les deux droites AB'et AC seront antiparallèles par rapport à l'angle ADC. On aura donc
Âd' = B'D.CD ou âd' = bd.cd.
Corollaire.
223. En joignant un point quelconque A d'une circonférence aux extrémités B et C d'un diamètre [Jîg, i6i), on forme un triangle rectangle (131). De là, une nouvelle manière d'énoncer la proposition précédente :
1° Toute corde AB d'un cercle est moyenne proportionnelle entre le diamètre BC qui passe par l'une de ses extrémités et sa projection BD sur ce diamètre;
2° La perpendiculaire AD, abaissée d'un point quelconque A d'une circonférence sur un diamètre BC, est moy^enne proportionnelle entre les deux segments BD et CD de ce diamètre.
THÉORÈME
22^f. Les trois côtés d'un triangle rectangle étant évalués en nombres au moy^en d'une unité commune, le carré du nombre qui mesure l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des nombres qui mesurent les deux côtés de l'angle droit; ou plus brièvement, dans tout triangle rectangle, le carré de Vliy^ poténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
En effet, en ajoutant les deux relations (222, i°) :
âb'=bc.bd, Âg'=:BC.CD,
on obtient
ÂbVÂc'=BC(BD4-GD) ou ÂB V ÂG = BG".
LIVRK III. - LES FIGURES SEMBLABLES
iOUOLLAIRSS.
225. Ce théorème permet de calculer l'un des côtés d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.
Si Ton connaît les deux côtés 6 et c de l'angle droit, l'hypoténuse a résulte de la formule
6'-+- c', d'où a = sjb''-^c\
Ainsi, soient Z> = 3, c = 4> o^i a « = ^9^-16 = sji^ = 5.
Si l'on connaît Thypoténuse a et l'un des côtés b de l'angle droit, on trouve l'autre côté c par la formule
b\ d'où c = slci'—b\
Ainsi, pour « = 5 et 6 = 3, on a c = \li5 — 9 = y^i6 = 4*
Il résulte encore de la proposition précédente que le rapport de la diagonale d'un carré au côté de ce carré est égal
Fig. 162.
à v/2. La diagonale AC est en effet l'hypoténuse d'un triangle rectangle et isocèle ABC (fig. 162), dans lequel on a
ag'=abVbg'=2.ab',
d'où
AG
. AG /^ . et - = v^..
Ainsi, la diagonale et le côté d'un carré sont deux droites incommensurables entre elles, puisque leur rapport est un nombre incommensurable. G'est ce que nous avons déjà démontré par la Géométrie pure (139).
THÉORÈME
226. Dans tout triangle y le carré d'un côté opposé à un xnisle ais;u est égal à la somme des carrés des deux autres
côtés, moins deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier.
Fis- i63'
Soient ABC le triangle proposé, C un angle aigu et CD la projection du côté AC sur CB; il s'agit de démontrer la relation
AB
