BG -1- AC -2BC.CD

Deux cas peuvent se présenter, suivant que la perpendiculaire AD tombe à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ABC; le premier cas a lieu lorsque l'angle ABC est aigu, et le second lorsque cet angle est obtus (44).

Dans le premiercas [Jig. i63), le triangle rectangle ABD donne

(i) Âb'=Bd'-i-Âd\

Or, puisque le pointD est, par hypothèse, situé entre C eiB, on a

BDrr:BC-CD,

et, par suite, d'après un théorème connu d'Arithmétique ('),

BD'=r BC' H- ci)'- 2BC.CD.

En portant celle valeur de BD dans la relation (i), on trouve

Âb'=Bg'-i- Cd'-i-Âd'- 2BC.CD; H,comme le triangle rectangle ACD donne

on a finalement

AB =iBC H-AC -^BC.CD.

(•) Le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier nombre, plus le carré du second, moins le double produit de ces deux nombre».