LIVRE 111. — LES FIGUUES SEMBLABLES. l6l

A.B.C.D, qui a ses côtés égaux à ceux du quadrilatère ABCD et disposés dans le même ordre; en vertu du théorème direct, le

rapport — sera égal au second membre de la relation (3); on

aura donc

or, si l'on avait .r,>>^, il en résulterait Bil> B et D,>>D; d'ailleurs, on aurait aussi, en vertu de (4)> J»^/"» et, par conséquent, A,> A et O» C; la somme des angles du quadrilatère A.B.CiD, l'emporterait donc sur celle des angles du quadrilatère ABCD, ce qui est absurde. On prouverait de même qu'on ne peut avoir x,<^x\ donc il y a égalité entre les diagonales X et jr,, et, par suite, entre les quadrilatères ABCD, A.BiC.D,; le quadrilatère ABCD est donc inscriplible.

Indiquons enfin les valeurs des trois diagonales en fonction des côtés :

î [f^d -^ bc){ac -h bd) ^__ (ac -+- hd]{ah -4- cd)

~ ab -\- cd ' / ad -^ bc

j [ab-A- cd)(ad-\- bc) ac H- bd '

on les obtient en divisant le produit des trois équations (2) successivement par le carré de chacune d'elles.

SCOLIE

24^3. Le théorème du n° 240 est attribué à Plolémée qui, dans son Àlmageste, l'a donné comme lemme pour la construction d'une table de cordes. Il offre, en effet, le moyen de calculer la corde u de la somme de deux arcs en fonction des cordes c et c' de ces arcs et du diamètre 5 du cercle; les deux cordes et le diamètre qui passe par leur point commun forment deux côtés contigus et une diagonale d'un quadrilatère inscrit dont l'autre diagonale est la corde inconnue m, tandis que les deux autres côtés sont égaux à si à-— c\ v/â»— c'S* de là, en venu du théorème de Ptolémée, la relation

èu = c\/o'—c"-h c's/à'—c', qui permet de calculer u.

l\. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). » >