MD.M£ = MA = MB.MG

Donc ( 194-) le point £ est sur le cercle déterminé par les trois points C, B, D, c'est-à-dire sur la circonférence auxiliaire; il ne diffère donc pas de l'intersection E du cercle 0 et de cette circonférence auxiliaire. On déduit de cette analyse la construction suivante :

Par les deux points B et C, menez une circonférence quelconque qui coupe la circonférence donnée 0 en deux points D et E; et du point M, intersection de BC et de ED, menez une tangente MA au cercle 0. Le point A sera le point de contact du cercle 0 et du cercle inconnu, dont le centre 0' se trouvera d'ailleurs à l'intersection de OA prolongée et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC.

La seconde tangente menée de M au cercle donné 0 donnera une seconde solution.

Si les points B et C étaient équidistants du centre 0, les droites BC et DE seraient parallèles ; il suffirait alors de mener au cercle 0 une tangente parallèle à BC; il y aurait encore deux solutions.

Enfin, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que M soit extérieur au cercle 0, c'est-à-dire tombe sur les prolongements de la corde DE, et non entre D et E. Or, la corde DE décompose la circonférence auxiliaire DBCE en deux arcs a et a', dont Tun est intérieur et l'autre extérieur au cercle 0. Pour que M ne soit pas situé entre D et E, il faut A il suffit que B et C ne soient pas, l'un sur l'arc a et l'autre lur l'arc a', mais bien tous deux sur l'arc a ou tous deux sur farc a', c'est-à-dire que B et C soient tous deux intérieurs

tous deux extérieurs au cercle 0.

SCOLIE

263. La détermination d'un cercle 0 astreint à trois conditions prises fermi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à toucher pe droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes qu'on peut dé-

l82 GÉOMÉTRIE PLANE.

signer par les symboles

PPP (i sol.), FDD (2 sol.), DDG (8 sol.),

DDD (4 sol.), PCD (4 sol.), DCC (8 sol.),

PPD (2 sol.), PCG (4 sol.), CGC (8 sol.), PPG (a sol.),

en représentant un point par P, une droite par D, un cercle par C. Nous avons indiqué, à côté de chaque symbole, le nombre des solutions dont le problème correspondant est susceptible.

La résolution de ces dix problèmes offre un exemple remarquable de la méthode des substitutions successives.

Les problèmes de la première colonne ont été déjà résolus (154, -161, 262); on a vu d'ailleurs (262) que les deux derniers se ramenaient au premier PPP. — Indiquons ici, en passant, une nouvelle solution du problème .PPD, qui n'exige que la connaissance du Livre IL — P et P' désignant les deux points donnés, et Pi le symétrique de P' par rapport à la droite donnée D, il est aisé de constater que la droite PPi est vue des deux points de contact cherchés sous des angles qui sont respectivement égaux aux angles des deux droites D et PP'. Il suffit donc, pour avoir ces points de contact, de décrire sur PPi un segment capable de l'un de ces angles, et de marquer les intersections de la droite D et du cercle ainsi obtenu.

Le premier problème PDD de la deuxième colonne se ramène à PPD, en observant que la circonférence cherchée doit contenir le symétrique du point donné par rapport à la bissectrice de l'angle que forment les droites données et qui renferme le point donné. — Le problème PGC se ramène à PPC; car on connaît (261) le centre de similitude S des deux cercles donnés et la puissance de ce point par rapport au cercle cherché 0. On peut donc déterminer le second point d'intersection de la droite PS et du cercle inconnu 0. — Le problème PCD se ramène de la même manière (261) à PPD ou à PPG.

Enfin, les problèmes de la troisième colonne se ramènent respectivement à ceux qui sont placés vis-à-vis dans la deuxième colonne. La marche à suivre reste la même pour tous les trois : c'est la méthode de translation (171). Ainsi, pour le problème DDG, on remarquera que, si le rayon du cercle cherché augmentait ou diminuait du rayon R du cercle donné, le nouveau cercle inconnu passerait par le centre du cercle donné et toucherait les droites données déplacées parallèlement à elles-mêmes d'une quantité égale à R. — De môme, s'il s'agit du problème DCC, on remplacera le plus grand des deux cercles donnés par un cercle ayant pour rayon (suivant la nature des contacts) la somme ou la différence des rayons de ces deux cercles, et l'on déplacera la droite donnée parallèlement à elle-même d'une quantité égale au rayon