VI. — POLYGONES REGULIERS

DÉFINITIONS

264. Un polygone est dit régulier, lorsqu'il a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Tels sont, par exemple, le triangle équilatéral et le carré.

On nomme ligne brisée régulière toute ligne brisée convexe qui a ses côtés égaux et ses angles égaux.

265. On peut toujours inscrire ou circonscrire à une circonférence donnée un polygone régulier d'un nombre donné de côtés.

Supposons la circonférence divisée en n parties égales, n étant le nombre de côtés que doit avoir le polygone.

i^ En menant {Jig. i84) les cordes AB, BC, . . . qui unis-

sent les points de division, on aura un polygone régulier inscrit de n côtés. En effet, les côtés de ce polygone sont égaux comme cordes d'arcs égaux, et ses angles sont égaux comme inscrits dans des segments égaux; car tout angle ABC du polygone est inscrit dans un segment correspondant à deux divi- Iions consécutives de la circonférence 2" En menant des tangentes [Jig. i84) par les points de diision A, B, C, .. ., on aura un polygone régulier circonscrit e n côtés. En effet, dans les triangles GAB, HBG, .... les ■ :... : „.

ig^ GÉOMÉTRIE PLANE.

côtés AB, BC,... sont égaux, el les angles en A, E, C,..., formés par une tangente et une corde, sont aussi égaux comme ayant tous pour mesure la moitié d'une division de la circonférence; dès lors les triangles GAB, HBC,... sont isocèles et égaux, el l'on a d'une part G = H = K = . . . , et de l'autre AG = GB= BH = HC=:CK,..., d'où l'on déduit GHr=zHK = .... Ainsi le polygone GHK... a ses angles égaux et ses côtés égaux.

D'après cette démonstration, pour avoir le polygone régulier de n côtés circonscrit à un cercle, il suffit de diviser la circonférence en n parties égales et de mener des tangentes par les points de division. Or, les milieux M, N, P,... des arcs AB, BC, CD,. . ., qui sous-tendent les côtés du polygone régulier inscrit {Jig' i85), divisent évidemment la circonférence en n parties égales. On aura donc un polygone régulier circonscrit de n côtés en menant des tangentes par ces points. On préfère souvent cette seconde manière d'opérer, parce que le polygone A'B'C'D',. . ., ainsi obtenu, a ses côtés parallèles à ceux du polygone inscrit ABCD,. . . , et ses sommets A', B', C, . . . , sur les mêmes rayons OAA', OBB', . . . , que les sommets du polygone ABCD. . .. En effet, d'une part deux côtés tels que BC, B'C, sont parallèles comme perpendiculaires sur la même droite ON, et d'autre part deux tangentes telles que MB', NB', doivent se couper (158) sur la bissectrice OB de l'angle MON.

266. Béciproquement, on peut toujours inscrire et circonscrire une circonférence à un polygone régulier donné.

Soit ABCDEF le polygone régulier donné {Jig, i86).

1° Pour démontrer qu'on peut circonscrire une circonfé-

LIVPC m* — I^ES FIGURES SEMBLABLES. l85

rence à ce polygone, il suffit de prouver que la circonl'érence qui passe par trois sommets consécutifs quelconques A, B, C, passe par le sommet suivant D. Or, soit 0 le centre du cercle déterminé par les trois points A, B, C; menons OA, OD, et la perpendiculaire OH sur BC. Replions le quadrilatère ABHÔ autour de OH; les angles en H étant droits, BH prendra la direction lie, et le point B tombera en C, puisque BH = HC. Mais, le polygone étant régulier, l'angle ABH est égal à l'angle HCD, comme le côté BA au côté CD; par suite, le côté BA prendra la direction Cl), et le point A tombera en D. Donc OD est égal au rayon OA, et la circonférence considérée passe par le point D.

2° Les côtés AB, BC,. . ., étant des cordes égales du cercle circonscrit, les perpendiculaires OG, OH,..., abaissées du centre 0 sur ces cordes, seront égales (104); donc, si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, on décrit une circonférence, chacun des côtés du polygone sera touché en son milieu par cette circonférence, alors inscrite au polygone.

Corollaires.

267. On nomme centre d'un polygone régulier le centre commun 0 de la circonférence inscrite et de la circonférence circonscrite. Ce point, étant à égale distance de tous les côtés et de tous les sommets, est à la fois le point de concours des bissectrices de tous les angles et des perpendiculaires élevées sur les milieux des divers côtés.

On appelle rayon d'un polygone régulier le rayon du cercle circonscrit, et apothème de ce polygone le rayon du cercle inscrit.

On nomme angle au centre d'un polygone régulier l'angle AOB de deux rayons consécutifs; cet angle est évidemment égal à l'angle GOH de deux apothèmes consécutifs, et par conséquent est le supplément de l'angle GBH du polygone régulier. D'après cela, si n est le nombre des côtés du polygone, et si l'on prend l'angle droit pour unité, l'angle au centre

iaudra - et l'angle du polygone 2 — -• On voit ainsi que, n n

luf le triangle équilatéral dont les angles sont de 60 degrés.

t86 GÉOMÉTRIE PLANE.

et le carré dont les angles sont droits, tous les 4[)o]ygones réguliers ont leurs angles obtus.

268. On prouverait, par des raisonnements identiques aux précédents, que toute ligne brisée régulière est inscriptible et circonscriptible, et par suite qu'elle a un centre, un apoihènie et un rayon, qui sont le centre et les rayons des circonférences inscrite et circonscrite. Une ligne brisée régulière ne diffère d'une portion de polygone régulier qu'en ce que son angle au centre n'est pas forcément une partie aliquote de quatre angles droits.

THÉORÈME

209. 1° Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables.

1^ Leur rapport de similitude est égal à celui de leurs rayons ou de leurs apothèmes.

1" Ces polygones ont les angles égaux, puisque la valeur de l'angle d'un polygone régulier ne dépend que du nombre des côtés (267), et que le nombre des côtés est le même dans les deux figures; de plus, les côtés sont évidemment proportionnels, puisque, dans l'une et l'autre figure, ils sont égaux. Donc, les polygones considérés sont semblables.

2° Soient {fig- 187) AB le côié du premier polygone, 0 son centre, OB son rayon, OF son apothème; soient de même A'B' le côté du second polygone, 0' son centre, O'B' son rayon, et O'F' son apothème. Les triangles rectangles BFO, B'F'O', sont semblables (202), puisque les angles FBO, F'B'O', sont égaux comme moitié des angles égaux ABC, A'B'C'(267). On a donc