LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES

mais, les polygones proposés étant semblables, leur rapport de similitude est égal au rapport des côtés AB, A'B', ou des demi-côtés BF, B'F'; il est donc aussi égal au rapport des rayons OB, O'B', ou au rapport des apothèmes OF, O'F'.

SCOLIE

270. Supposons la circonférence divisée en m parties égales; désignons par a la longueur de l'une des parties, et joignons les points de division de /? en /?, à partir de Tun d'eux.

Si p est premier avec m, la circonférence ma et l'arc pa sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour plus petit multiple commun pma, et l'on reviendra au point de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou m fois l'arc pa. On aura donc formé ainsi un polygone régulier de m côtés. Par exemple, dans \^ fig- 190 où la circonférence est divisée en 10 parties égales, on obtient, en joignant les points de division de i en i, le décagone convexe, et enjoignant ces points de 3 en 3 un décagone régulier étoile.

Si p et m, au lieu d'être premiers entre eux, ont un plus grand commun diviseur 0, le plus petit multiple commun de

l'arc pa et de la circonférence ma sera -^ f^- On reviendra alors au point de départ après avoir parcouru ~ fois la circonférence ou -^ fois l'arc pa-, en d'autres termes, on aura

formé ainsi un polygone régulier de -r côtés, et non plus de

m côtés.

Au premier abord, il semble résulter de là qu'il existe autant de polygones réguliers (convexes ou étoiles) de m côtés [u'il y a de nombres premiers à m dans la suite i, 2,..., -I. Mais, si l'on remarque qu'en joignant les points de livision de p en p, p étant premier à m, on obtient le même lolygone qu'en les joignant de m— p en m —p, on voit qu'en réalité le nombre des polygones réguliers de m côtés est égal tu nombre des entiers premiers à m contenus dans la suite

l88 GÉOMÉTRIE PLANE.

D'après cela, il n'y a qu'un hexagone régulier; il y a deux pentagones réguliers, deux décagones, quatre peniédécagones, etc.

^ Vîl. - PROBLÈMES SUR LES POLYGONES RÉaULIERS.

PROBLÈME