LIVRE m. — LES FIGURES SE31CLABLES. 2O

PROBLÈME

298. Calculer le rapport de la circonférence au diamètre, La formule

montre que, pour avoir tt, on peut :

Soit se donner le rayon R et calculer la longueur de la circonférence C : c'est la méthode des périmètres;

Soit se donner la circonférence C et calculer le rayon R : c'est la méthode des isopérimètres,

299. Méthode des périmètres. — Pour R = i, la formule (i) donne r = yC; le nombre tt est donc égal à la demi-circonférence de rayon i. Par suite, le demi-périmètre de tout polygone inscrit dans cette circonférence est une valeur de tt approchée par défaut, et le demi-périmètre de tout polygone circonscrit est une valeur de tt approchée par excès. Donc, si on calcule, comme au n*>283, en parlant du carré inscrit, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits de 8, i6, 32, . . ., côtés, les nombres obtenus seront des valeurs par défaut do plus en plus voisines de tt; et de même, si, en partant du carré circonscrit, on calcule, comme au n° 285, les demipérimètres des polygones réguliers circonscrits de 8, i6, 32,..., côtés, on aura des valeurs par excès de plus en plus voisines de TT. Par exemple, on trouve (283, 285) pour les demi-périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 128 côtés. . . 3,14127 et 3, 14223; on conclut de là que 7: est compris entre ces deux nombres et que 3,142 est sa valeur à moins d'un millième.

On peut aussi partir de l'hexagone et calculer, comme aux n°» 283 et 285, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits de 12, 24, 4S>- • • > côtés.

Ainsi présentée, la méthode des périmètres est très-laborieuse; mais en revanche elle est très-simple en principe; c'est d'ailleurs la méthode suivie par Archimède, l'illustre géomètre qui vivait à Syracuse 25o ans avant J.-C, et auquel appartient la gloire d'avoir trouvé le premier le rapport de la circon-

U. et DE C. — 7>. de Gconi. (I" Partie). l4

férence au diamètre. Archimède, en parlant de l'hexagone ei en s'arrêtant aux polygones inscrit el circonscrit de 96 côtés,

a prouvé que tt était compris entre 3 h el 3 h Ce dernier nombre 3 h ou — y qui surpasse 7: de moins d'un demi-

centième, suffît dans beaucoup d'applications.

Il convient de signaler encore la valeur par excès — r? qui

est due à Adrien Métius, el dont l'erreur n'alleintpasun demimillionième.

Nous allons voir que la méthode des isopérimèlres, publiée en 1 8 1 3, à Nancy, par le géomètre Schwab, conduit à des calculs beaucoup plus simples; nous reviendrons ensuite sur la méthode des périmètres, pour montrer qu'on peut la présenter de telle sorte qu'elle conduise identiquement aux mêmes calculs que celle des isopérimètres.

300. Méthode des isopérimètres. — Elle est fondée sur le principe suivant :

Le nombre - est compris entre les valeurs a et r de l'apothème et du rayon de tout polygone régulier dont le périmètre est égal à 2, et Von peut prendre le nombre n des côtés du polygone assez grand pour que ces valeurs approchent autant qu'on voudra de - • ^ 7:

En effet, le périmètre du polygone étant compris entre la circonférence inscrite et la circonférence circonscrite, on a

2 7:a <^2 <^2 7rr, d'où ««<-<Cr.

D'ailleurs, l'excès du rayon OA = r sur l'apothème OG = a

fig, 197) étant moindre que la moitié AG du côté du polygone,

et le côté ayant pour valeur -? on a

r — rt < - -, n