LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLÂELES
on peut donc prendre n assez grand pour que les différences
a et r ;
ùî sont inférieures h r—a, deviennent moindres que toute quantité donnée.
L'application simultanée de ce principe et du problème du
n" 286 permet de calculer - et par suite tt avec telle approximation qu'on voudra.
On partira d'un polygone dont on sache trouver directement l'apothème et le rayon, par exemple du carré dont le périmètre
est égal à 2 ; le côté étant égal à - ? l'apothème aura pour valeur
«= -^ et,Ie rayon,r= i/ ( -^ J +(7) = tV^^. Puis, à l'aide
des formules du n° 286, qn calculera successivement les apothèmes et les rayons «< et n, «2 et r2, . . ., a^ et r^t, . . ., des polygones réguliers et isopérimètres ayant 4-2, 4-2^, ..., 4.2^, . . ., côtés.
Voici le Tableau des calculs jusqu'au polygone de 128 côtés :
a = o,25ooooo. .
as = 0,3182459. .
r rr= 0,3535534. .
Pi = 0,3266407. .
r2 = o,32o3644' • rs = 0,3188217 . .
rji = 0,3184377. .
La dernière ligne montre que - est compris entre o,3i82 et
TT
0,3181, et par suite a pour valeur o,3i83, à moins d'un dixmillième ; quant à tt, il est compris entre
et
c'est-à-dire entre 3,i4i et 3, i43; il a donc pour valeur 3, 142, à moins d'un millième.
On peut remarquer que r= -^ est la moyenne arithmétique
entre o et - et que r r-= - ^ est la moyenne géométrique entre et «, et l'on est ainsi conduit à ce théorème :
Le nombre - est la limite vers laquelle tend la suite des nombres
G,-, «, r, «2i, rj, ^2, /'a,
obtenus en partant de o et -> et prenant alternativement la
moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux qui précèdent.
Pour compléter l'exposition de la méthode, il reste à chercher une limite du nombre des opérations à faire pour obtenir tt avec une approximation donnée.
Pour obtenir — à moins de — - > il suffit qu'on ait
Mais la différence r/c — a/c est moindre successivement (288) que
et, par conséquent, que
(r/c-i — afc-i), 7^(a-2 — «/r-2), .-., (ri — ai),
puisque rj — ai = 0,0248. . . est inférieur à — -• L'inégalité primitive sera
donc vérifiée si l'on a
4/c> lo'/i-i, d'où k> '"
et, a fortiori,
log
puisque log4 = 0,602. . . est supérieur à -• Donc, pour a^mr - a moins
de — - f il suffit de pousser les calculs jusqu^au polygone de ^.1^ côtes,
k étant V entier égal ou immédiatement supérieur à - [m — \)
D'ailleurs, dès qu'on connaît uns valeur approchée do - avec m dt'ci-
