LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 2'>.C

que nous désignerons respectivement par (ABCD), (ACDB), ....

11 importe de se familiariser avec cette notation. En api^elani premier point celui qui répond à la première lettre à gauche dans la parenthèse, deuxième point celui qui répond à la seconde lettre à gauche, etc., on prend toujours le rapport des distances du troisième point au premier et au deuxième, et on le divise par le rapport des distances du quatriènie point au premier et au deuxième.

Trois points A, B, C, étant donnés d'une manière quelconque sur une droite indéfinie, on peut déterminer sur cette droite un quatrième point D tel, que le rapport anharmonique des quatre points A, B, G, D, ait une valeur donnée X en grandeur et en signe. Car la relation

CA.pA 2A I CA

CB'DB" ' °" DB~)i'gb'

dont le second membre est entièrement connu, détermine (303) le point D. Toutefois, pour que ce point D soit distinct des trois premiers, il faut que l n'ait aucune des trois valeurs o, <» ou 4- i. En effet, si X était nul, on aurait, en vertu de la relation précédente, DB = o, et D coïnciderait avec B; siX était infini, on aurait DA = o, et D coïnciderait avec A; enfin, siX était

égala -t- 1, on aurait tâîs = 7^' ^t D coïnciderait avec G. Ainsi, le rapport anharmonique de quatre points distincts peut avoir une valeur quelconque j positive ou négative, excepté les valeurs o, 00 et -hi.

Le rapport anharmonique de quatre points ABGD n'est pas altéré lorsqu'on échano^e entre eux deux de ces points, pourvu qu'en môme temps on échange entre eux les deux autres. Ainsi l'on a

(ABGD)-^.--^^^^,

et par suite

(ABCD) = (GDAB).

Avec les quatre mêmes points A, B, G, D, on peut former vingt-quatre rapports anharmoniques,dont six seulement sont distincts. Lorsque, dans un théorème, nous parlerons du rapport anharmonique de quatre points, sans indiquer spécialement l'un de ces rapports, il faudra entendre que le théorème s'applique indifféremment à l'un quelconque d'entre eux.

319, On donne le nom de faisceau à un système quelconque {Jig. 208) de droites OM, ON, OP, OQ, issues d'un même point 0. Le point 0 est

23o GÉOMÉTIUE PLANE.

dit le centre du faisceau, dont les droites OM, ON, OP, OQ, sont appelées les rayons.

THÉORÈME

320. Lorsque un faisceau de quatre droites OM, ON, OP, OQ, est coupé par deux transversales L et L', le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D, de'lcrminês sur la première transversale, est égal au rapport anharmonique des quatre points A', B', G', D', déterminés sur la seconde [Jîg. 208).

Nous allons démontrer, par exemple, l'égalité (ABCD) = (A'B'C'D'). Les rapports -^5 » pr^ > ayant le même signe ainsi que les rapports

ïïr' ÏVÏÏ'' ^^ ®^ ^^^^ ^® même pour les quotients ou rapports anhar-

CA. DA C'A' D'A' ^ ., , , ,, , v- v.a a moniques 7775 : i^j 7^75-, : i^ir,, et il reste a démontrer 1 égalité des va-

leurs absolues de ces derniers rapports.

Or, en menant par le point B la parallèle Byiî à OA, on a, par les triangles semblables CAO et CB7, DAO et DB(î, les proportions

CA OA 2A 0A GB~yB' DB~8B'

qui, divisées membre à membre, donnent