AO CB BO
sinAOC
"sinOCA* sinBOC ~ sinOGB
d'où, en divisant,
CA OA sinCOA.
CB~ OB sinCOB'
on obtiendra de môme
DA OA sinDOA DB OB sinDOB'
et par suite
CA
DA sinCO A. SinDOA^
CB* DB sinCOB* sinDOB
Le rapport anharmonique qui figure dans \q premier membre ne dépend donc que des angles du faisceau et nullement de la position de la transversale L; il a donc la même valeur pour la transversale L'.
RAPPORTS ANHARMONIQUES d'uN FAISCEAU.
321 . On nomme rapports anharmoniques d^ un faisceau de quatre droites les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau sur une transversale quelconque. Ainsi, (ABCD), (ACDB), ... (318) sont des rapports anharmoniques du faisceau formé par les droites OM, ON, OP, OQ {fig. 2o8). On désigne ces rapports anharmoniques du faisceau par la notation (O.ABCD), (O.ACDB), ...
232 GÉOMÉTRIE l'LA.NE.
Il résulte d'ailleurs du n" 318 que le rapport anliarmonique d'un faisceau ne change pas de valeur lorsqu'on échange deux rayons quelconques, pourvu qu'on échange en môme temps les deux autres; de sorte qu'on a, par exemple, (O.ABGD) = (O.CDAB).
Il résulte de la seconde démonstration donnée au numéro précédent que le rapport anliarmonique (O.ABCD) du faisceau a pour expression
sinCOA . sinPOA sinCOB * sinDOB*
II est évident, d'après cela, que deux faisceaux qui ont respectivement les mômes angles ont les mêmes rapports anharmoniques. Voici deux exemples importants de faisceaux de cette nature :
i" Si l'on joint un point quelconque 0 d'une circonférence à quatre points fixes A, B, G, D, de cette circonférence, le rapport anliarmonique du faisceau ainsi obtenu est constant y quelle que soit la position du point 0 sur la circonférence. II résulte, en effet, des propriétés des angles inscrits que le point 0 se déplaçant, et les points A, B, G, D, restant fixes sur la circonférence, le faisceau conserve les mêmes angles. Ge rapport constant est ce qu'on appelle le rapport anliarmonique des c^uatre points A, B, G, D, du cercle.
i" Si Conjoint le centre d\in cercle aux points où quatre tangentes fixes sont coupées par une cinquième tangente, le rapport anliarmonique du faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la cinquième tangente. En effet, l'angle sous lequel on voit du centre la portion d'une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est évidemment égal à la moitié de l'angle des deux rayons qui aboutissent aux points de contact de ces tangentes fixes. Get angle est donc constant, et par suite le faisceau considéré conserve les mêmes angles, quelle que soit la position de la cinquième tangente.
On voit par là que le rapport anliarmonique des points suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant. Ge rapport est ce qu'on appelle le rapport anliarmonique des quatre tani^entes fixes.
Le rapport anliarmonique de quatre tangentes à un cercle est égal au rapport anliarmonique des quatre points de contact; car le faisceau partant du centre du cercle, et aboutissant aux points d'intersection de ces quatre tangentes avec une cinquième, a ses rayons respectivement perpendiculaires à ceux du faisceau parlant du point de contact de la cinquième tangente et aboutissant aux points de contact des quatre tangentes considérées ( 320, 71 ).
