B7DA) = (B'7D'A

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun 7; donc les droites BB', DD', AA', qui joignent les autres points homologues deux à deux, concourent (324) en un même point 0.

Ces deux théorèmes, attribués à Desargues, géomètre du xvii* siècle, ont été repris par Poncelet [Traité des Propriétés projectives)^ qui en a fait la base de sa Théorie des figures homologiques. Les deux triangles ABC, A'B' G', qui satisfont aux conditions précédentes, sont dits homologiques; le point 0 et la droite ap7 sont appelés \q centre et Vaxed'homologie.

328. Dans tout hexagone k'èÇ.DW inscrit à une circonférence , les points de concours L, M, N, des trois couples de côtés opposés AB et DE, BC et EF, CD et AF, sont en ligne droite [fig. 212).

En effet, on a (321, 1°) (A.BFED)=(C.BFED),

329 . Dans tout hexagone k^CDW circonscrit à un cercle, les trois diagonales AD, BE, CF, qui unissent les sommets opposés, se coupent en un même point 0 [fig. 21 3).

Fig. 2i3.

En effet, soient I et M les points où le côté AB rencontre FE et DE, ot L et N les points où CD rencontre AF et

Par suite (320), en coupant le premier faisceau par la droite DE, le second par la droite FE, et nommant G l'intersection de AF et de DE, I l'intersection de EF et de CD, on aura

(LGED) = (MFEI).

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun E; donc (324) les droites LM, GF, DI, qui joignent les autres points homologues deux à deux , se coupent en un môme point N. Les trois points L, M, N, sont donc en ligne droite.

Ce théorème, dû à Pascal, et la démonstration si simple que nous venons d'exposer, subsistent quand même l'hexagone cesse d'être convexe.

GÉOMÉTRIE l'LAKE.

FE; on aura (321 , 2"), en considérant les deux côtés non contigus AB et CD coupés par les quatre autres,

(BAIM) = (CLND).

Par suite,

(E.BAIM) = (F. CLND).

Or, ces deux faisceaux ont un rayon homologue commun IN ; donc (322 ) les points de concours 0, A, D, des trois autres couples EB et FC, EA et FL, EM et FD, de rayons homologues, sont en ligne droite. Les trois droites AD, BE, CF, passent donc par un même point 0.

Ce théorème est dû à Brianchon [Journ. de V École Pol/t., 1 3'cahier) , qui l'a déduit du théorème de Pascal par la considération des polaires, comme nous le verrons bientôt.

330. Si l'on considère les théorèmes des n*" 322, 326, 328 d'une part, et les théorèmes des n*" 324, 327, 329 de l'autre, on voit que, dans les premiers, il s'agit de points en li^ne droite, et dans les seconds de droites qui concourent en un même point. On dislingue en effet, dans la science de l'étendue, deux genres de propositions , les unes se rapportant à des points, les autres à des droites, et se corres{)ondant en vertu de ce qu'on a nommé le principe de dualité. Un des grands avantages du rapport anharmoni^ue est de se prêter indifféremment à ces deux genres de proj)Ositions corrélatives, et d'en fournir des démonstrations directes et corrélatives à leur tour. On peut voir, en effet, que, dans les propositions que nous avons placées en regard l'une de l'autre, on passe de l'énoncé et de la démonstration de l'une à l'énoncé et à la démonstration de l'autre, en substituant certains faisceaux de droites concourantes à certaines séries rectilignes de quatre points, et réciproquement.

Le théorème fondamental du n" 320 était connu des anciens; il se trouve dans les Collections mathématiques de Va\^ipus, qui vivait à Alexandrie à la fin du iv^ siècle. « Aucune autre proposition, dit M. Chasles dans la préface du Traité de Géométrie supérieure, ne me paraît aussi propre à servir de lien entre les diverses parties d'une figure dont on veut découvrir ou démontrer les propriétés. La proposition la plus fréquemment employée est celle de la Droportionnalité entre les côtés des