NOTIONS HISTORIQUES. XXXIII

SOUS le litre ù' Apollonius Gallus. C'est là qu'il résolut, le premier, le problème du cercle tangent à trois cercles donnés, problème difficile alors, mais dont les méthodes modernes ont offert des solutions plus élégantes et plus simples. Il perfectionna en outre, de la manière la plus utile, la Trigonométrie, en faisant connaître la loi suivant laquelle croissent les sinus des arcs multiples et en résolvant quelques cas nouveaux des triangles sphériques qui n'avaient point reçu d'application en Astronomie, par exemple celui où Ton doit trouver un angle connaissant les trois côtés.

On remarque, dans la Trigonométrie de Viète, une idée neuve et très heureuse sur la transformation des triangles sphériques. Le triangle réciproque considéré par Viette a deux de ses côtés égaux à deux angles du triangle primitif et le troisième côté égal au supplément du troisième angle. Il n'y a donc pas entre ces deux triangles la réciproque parfaite dont jouissent les triangles supplémentaires découverts en 1627 par Snellius (de Leyde), et qui constituent en réalité la première apparition de la loi générale de la dualité de l'étendue que Poncelet et Chasles devaient, plus de deux siècles après, mettre en pleine lumière.

C'est au grand Kepler ( 167 j-i63i) qu'on doit l'introduction de l'idée de V infini en Géométrie; il put, par son aide, généraliser, dans sa Nouvelle Stéréométrie, les recherches d'Archimède sur la cubature des sphéroïdes et des conoïdes. Il faut encore ajouter à l'actif en Géométrie du fondateur de l'Astronomie moderne la doctrine des polygones étoiles (retrouvée de nos jours par Poinsot), le principe fondamental des maxima et des minima, et enfin sa belle méthode des projections pour déterminer, par une construction graphique et près de deux cents ans avant l'invention de

XXXIV l^OTIONS HISTORIQUES.

Monge, les circonstances des éclipses de Soleil pour les habitants des différentes régions terrestres.

Quelques années après Kepler, Cavalleri, professeur à Bologne (i 598-1647), donna sa Géométrie des indivisibles, où il montrait, comme l'illustre astronome, à évaluer les grandeurs géométriques par leurs éléments. La méthode de Cavalleri, qui a suppléé pendant cinquante ans au Calcul intégral, n'est, comme il l'a fait voir lui-même, qu'une transformation heureuse de la méthode d'exhaustion, si habilement appliquée par Archimède.

Grégoire de Saint-Vincent (iSS/j-iôô;), à son tour, mais d'une manière qui lui était propre, appliqua, comme Cavalleri et Roberval, la méthode d'exhaustion d'Archimède aux quadratures curvilignes. Il a mérité par là d'être regardé, lui aussi, comme un des précurseurs du Calcul infinitésimal. La Géométrie des sections coniques lui doit de nombreuses découvertes, et il écrivit un Traité remarquable sur les rapprochements singuliers qu'on peut faire entre la parabole et la spirale, dont les propriétés se correspondent. Il donna ainsi l'occasion à Pascal de composer son beau Mémoire sur Vénalité des lignes spirale et parabolique.

Descartes (iSgô-iôSo), Fermât (1590-1662), Roberval (1602- 1675), eurent presque en même temps la gloire de résoudre, dans toute sa généralité, chacun par une voie distincte, le Problème des tangentes aux lignes courbes.

On connaissait des solutions particulières de ce Problème pour quelques courbes, comme les coniques et la spirale d'Archimède; mais ces solutions restaient impuissantes dans leur étroitesse spéciale, dès qu'on voulait aborder une courbe nouvelle. La Géométrie demeurait concrète; elle ne s'était point élevée au caractère abstrait qui pouvait seul lui donner toute son étendue et toute sa puissance.

NOTIONS HISTORIQUES. XXW

Descartes et Fermât, en appliquant différemment ce point (le vue, regardaient tous deux la tangente à une courbe comme une sécante dont deux points d'intersection sont réunis; Roberval la considérait comme la direction du mouvement résultant par lequel la courbe peut être décrite. Sa méthode, qui rentre mieux que celle de Descartes ou de Fermât dans la Géométrie pure, était ainsi fondée sur la composition des mouvements, doctrine découverte par Galilée peu de temps auparavant et appliquée par lui à la seule Mécanique. L'idée de déduire des considérations de mouvement un principe de génération de toutes les courbes fait certainement grand honneur à Roberval.

Le profond Fermât, membre du Parlement de Toulouse, dans les écrits duquel apparaissent, comme dans ceux de Kepler, les germes évidents de la Méthode infinitésimale, fut sans égal dans la Théorie des nombres. Il partage avec Pascal la gloire de l'invention du Calcul des probabilités, et, par l'application de sa belle méthode De maximis et minimis au phénomène de la réfraction de la lumière, il a mérité d'être associé à Descartes comme introducteur des Mathématiques dans l'étude des'phénomènes naturels. Fermât excella aussi dans la Géométrie des anciens; on lui est redevable de la restitution des lieux plans d'Apollonius, Ouvrage perdu, et de la première solution complète des problèmes relatifs au contact des sphères, solution remarquable, mais qui a été dépassée depuis.

Pascal (1623-1662), si justement renommé pour ses étonnants travaux sur la cycloïde, sur les indivisibles et sur le Calcul des probabilités, avait trouvé, dès l'âge de seize ans, la belle propriété de Yhexagramme mystique (ou de tout hexagone inscrit à une Conique, d'avoir en ligne droite les trois points de concours de ses côtés opposés). 11 la prit pour base

XXXVI NOTIOAS HISTORIQUES.

d'un Traité complet des coniques. Cet Ouvrage a été malheureusement perdu, comme beaucoup d'autres de ce génie hors ligne et d'une si effrayante précocité, et nous n'en possédons qu'une sorte de programme, V Essai sur les coniques, que Pascal publia dès i64o.

Dans les écrits de Pascal, on reconnaît l'influence de son contemporain, le Lyonnais Desargues (iSgS-ïôôS), qu'un savant géomètre de nos jours, Poncelet, a surnommé le Monge de son siècle. Les anciens, qui étudiaient les sections coniques dans le cône même, employaient des démonstrations souvent pénibles et surtout différentes pour les trois courbes. Desargues, en cherchant à leur appliquer directement les propriétés du cercle qui était la base du cône, parvint à des démonstrations qui convenaient à la fois aux trois espèces de coniques, malgré la différence de forme de ces lignes. Il découvrit la propriété involutive du quadrilatère .inscrit dans une conique, la propriété fondamentale des triangles homologiques, et écrivit avec le même talent et le même esprit de généralisation sur la Coupe des pierres, la Gnomonique et la Perspective.

Quoique nous nous soyons ici placés surtout au point de vue de la Géométrie pure, nous devons mentionner hautement la création de la Géométrie analytique par Descartes (1637). L'avènement de cette nouvelle doctrine, si séduisante pa: son caractère d'universalité, si facilement féconde, et dont on ne trouve aucun germe dans les écrits des anciens, fut une véritable révolution. Le grand philosophe, par cette admirable conception ô.qY Application de l' Algèbre à la théorie des courbes, put franchir des obstacles qui avaient arrêté les plus profonds géomètres, et changea la face des Sciences mathématiques. On le suivit avec enthousiasme, et un coup funeste fut portée à la Géométrie pure.

■r ^NOTIONS HISTORIQUES. XXXV II

Cependant, quelques esprits éminents s'opposèrent à cette décadence, et soutinrent dignement l'honneur des méthodes anciennes. Nous citerons Huygens (1629-1695), à la Haye, et De la Hire (1640-1718), à Paris.

Huygens, que Newton proclamait le plus excellent imitateur de anciens, et que Leibnitz plaçait au premier rang parmi les hommes de son siècle, créa la théorie des développées et découvrit les lois de la force centrifuge. Son célèbre Traité, De horologio oscillatorio, est l'indispensable introduction des Principes de Newton, et se place tout à côté dans l'histoire des grandes conceptions de l'esprit humain. Il faut en dire autant du Traité de la Lumière de l'illustre Hollandais, à qui l'on doit la théorie des ondes.

Le principal Ouvrage publié par De la Hire est un grand Traité des sections coniques divisé en neuf Livres, et qui eut une grande réputation dans l'Europe savante. Dans ce Traité, il s'élève des propriétés du cercle, base du cône, aux propriétés analogues des sections d» la surface par un plao tout à fait quelconque, et Ton peut, à juste titre, regarder cet habile géomètre comme un digne continuateur de Pascal et de Desargues. Son Mémoire sur les épicycloïdes, sa théorie des roulettes et son Traité de Gnomonique méritent d'être rappelés. C'est à lui qu'on doit, au fond, la théorie du pôle et de la polaire, dont Apollonius n'avait connu qu'un théorème, et la transformation homologique, qui, employée ensuite par Newton, a été retrouvée de nos jours d'une autre manière et développée avec un rare talent par Poncelet dans son beau Traité des propriétés projectiles des figures (*), où Ton trouve les applications les plus intéressantes et les plus variées de celte théorie.

( ») Deuxième édition, i865; 2 vol. in-4°, avec planches, chez Gauthier- Villars.