LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES

M le pôle de MT, on aura, par le principe de M. Salmon, ME MO ,, , ,,„ xMO ,,-

) dOU ME=-rT7r-AL.

Ainsi, les lignes ME, MG, MH, MF, sont respectivement proportionnelles aux distances A'L, C'P, D'Q, B'N, et la relation (i) devient

c'est-à-dire que, dans tout quadrilatère circonscrit h un cercle, le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangente.

Le théorème sur le quadrilatère inscrit peut s'étendre à un polygone inscrit quelconque d'un nombre pair de côtés. En e^'et, si P est un polygone inscrit de 2/z côtés, et P' le polygone inscrit de 2« — 2 côtés qu'on obtient en détachant de P un quadrilatère au moyen d'une diagonale, on voit tout de suite que, si le théorème a lieu pour le polygone P' de in — 'i côtés, il subsiste pour le polygone P de 2« côtés.

On peut même appliquer le théorème à un polygone quelconque, en remarquant qu'on peut considérer tout polygone inscrit comme ayant un côté infiniment petit dirigé suivant la tangente en l'un des sommets.

De là résultent les deux propositions suivantes, en regard desquelles nous avons placé les deux propositions corrélatives qui en découlent d'après la méthode des polaires réciproques.

Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est inscrit dans un cercle, le produit des distances d'un point quelconque de la circonférence aux côtés de rangs pairs est égal au produit des distances du même point aiux côtés de rangs impairs.

Quand un polygone est inscrit dans un cercle, le produit des distances d'un point quelconque de la circonférence aux divers côtés est égal au produit des distances du même point aux tangentes menées par les sommets du polygone.

Quand un polygone d*un nombre pair de côtés est circonscrit à un cercle, le produit des distances des sommets de rangs pairs à une tangente quelconque est dans un rap' port constant avec le produit des distances des sommets de rangs impairs à la même tangente.

Quand un polygone est circonscrit à un cercle, le produit des distances de ses sommets à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des points de contact des côtés à la même tnnzciite.