LIVRE !II. — LES FIGURES SEMBLABLES

parce que, s'il s'agit do circonscrire une figure semblable au lieu de l'inscrire, les segments capables, décrits sur les côtés du polygone donné, fournissent immédiatement des lieux géométriques des sommets du polygone à construire.

Renversons donc la question, et proposons-nous de circonscrire à un quadrilatère donné A'B' CD' un quadrilatère abcd semblable à un autre quadrilatère donné ABCD.

Les angles du quadrilatère abcd étant donnés, les sommets «, ^, d appartiennent aux segments capables de ces angles, décrits sur les côtés A'B', B'C, A'D'.

De plus, le quadrilatère abcd étant semblable au quadrilatère ABCD, le triangle abd est lui-môme semblable au triangle ABD, et l'on connaît les angles abd, adb. Comme ces angles ont pour mesures, le premier la moitié de l'arc B'Z>', le second la moitié de l'arc SI d\ on pourra marquer sur les arcs B'C et A'D' les points b' et d' : la droite b'd' sera donc déterminée, et ses seconds points d'intersection avec les segments décrits sur B'C et sur A'D' seront les points b et d. Ayant ainsi doux sommets opposés du quadrilatère abcd, le problème inverse se trouvera résolu.

l'-ifT. 233.

Pour revenir au problème direct, on n'aura plus qu'à diviser ios côtés du quadrilatère ABCD dans des rapports égaux à ceux des segments que les points A', B', C, D', déterminent sur les côtés du quadrilatère abcd, et à joindre les points de division.

Le problème proposé a /mit solutions dans le cas général. En effet, en considérant le problème inverse, on voit d'abord que l'angle d peut s'appuyer indifféremment sur chacun des côtés du quadrilatère A'B'C'D': ce qui donne quatre solutions. De plus, chacune de ces solutions doit être double : car l'angle a s'appuyant sur le côté A'B' par exemple, les angles b ei d peuvent s'appuyer respectivement, soit sur les côtés B'C et A'D', soit au contraire sur les côtés A'D' et B'C. Cette double solu*

tion se réduirait à une seule, si les angles h et d étaient égaux en môme temps que les côtés B'C et A'D'.

371 . La méthode par rotation dont nous avons parlé à la fin du livre II (172) prend une extension considérable quand on la combine avec la construction d'une figure homothétique.

Soit proposé de construire un triangle ABC semblable à un triangle donné, de telle sorte que l'un des sommets Q, ait une position donnée et que las deux autres sommets k et ^ soient respectivement sur deux lignes données a et h.

Il est clair que, si l'on fait tourner la ligne a autour du point donné C

d'un angle égal à l'angle connu AGB, puis qu'on construise la ligne a'

homothétique de cette ligne ainsi déplacée en prenant pour centre d'hô-

CB mothétie le point G et pour rapport d'homothétie le rapport connu -— -,

LA

le point A de la ligne a viendra en B. On obtiendra donc la position

cherchée de ce sommet B en prenant l'intersection des lignes b et a'.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire un triangle dont les côtes soient proportionnels aux nombres 3, 4, 5, de façon que les sommets soient sur trois droites parallèles données, ou sur trois cercles concentriques donnés. 1.0) triangle est ici rectangle; on placera à volonté le sommet de l'angle droit sur celle des lignes à laquelle il doit appartenir; puis, on fera tourner l'une des autres lignes autour de ce point d'un angle égal à 90°, en prenant f pour rapport d'homothétie.

La méthode consiste, on le voit, dans l'emploi du point C comme centre de rotation et d'homothétie.

Voici quelques autres exemples simples :

I** Soit un quadrilatère ABCD. On peut considérer A et D, B et G comme deux couples de points homologues de deux figures semblables; 0 désignant le pôle double de ces deux figures, les triangles AOB, DOC seront semblables; par suite, il est aisé de voir qu'il en sera de même des triangles AOD, BOG; donc, si l'on considère A et B, C et D comme deux couples de points homologues de deux autres figures semblables, le pôle double de ces figures sera aussi le point 0 ; et l'on verrait de même que ce point est encore le pôle double de deux figures semblables dont A et G, B et D seraient deux couples de points homologues. On conclut do là que dans tout quadrilatère complet, les cercles circonscrits aux triangles qui restent lorsqu'on néglige successivement un des côtés passent tous par un même point.

2° Gonsidérons un triangle quelconque ABG et en même temps le triangle A'B'G' qui a pour sommet les milieux des côtés du premier. Ges deux triangles sont semblables ; deux côtés homologues quelconques forment un angle de 180° et le rapport de similitude est égal à i. Si 0