LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

désigne le pôle double, comme les angles AOA', BOB', COC doivent être égaux à i8o°, on voit que ce pôle 0 se trouvera sur toute ligne joignant deux points homologues, et qu'il divisera cette ligne dans le rapport de I à 2. Ce pôle est donc à la rencontre des médianes AA', BB', GC. Mais les points de rencontre des hauteurs dans les deux triangles sont deux points homologues K et K' ; d'ailleurs K' est le centre du cercle circonscrit à ABC; donc, dans tout triangle ABC, le point de concours des hauteurs K, le point de concours des médianes 0, et le centre K' du cercle circonscrit sont situés sur une même ligne droite que le point 0 partage dans le rapport de i à i.

3" On donne, dans un plan, deux droites L et L'.un point A sur la droite L et un point A' sur la droite L'. Mener ^ par un point quelconque P du plan, une droite qui coupe respectivement L et L' en deux points X et X', tels que les segments AX et A'X' aient un rapport donné {fig. 233i).

Considérons A et A', X et X' comme deux couples de points homologues de deux figures semblables F et F'; le point double 0 de ces deux figures s'obtiendra aisément, car il est d'une part sur le cercle circonscrit au triangle A A'I, I étant le point d'intersection des droites L et L'; d'autre part, il est sur le cercle, lieu des points dont le rapport des distances à A et A' est égal au rapport donné.

Fig. -jSS..

L'angle OAA' est donc connu, et, comme il doit être égal à OXX', c'est-à-dire à GXP, il suffira, pour avoir le point X, de décrire sur OP un segment capable de l'angle OAA'.

Dans le cas particulier où le point A' se confondrait avec I, le cercle circonscrit à A A'I serait remplacé par le cercle passant par A et tangent en I à la droite L'.

Ce problème remonte à Apollonius, qui l'avait surnommé problème de la section de raison.

266 GÉOMÉTRIE PLANR.