AXES RADICAUX

372. Nous avons vu (193) que, si, par un point M pris à volonté dans le plan d'un cercle 0, on mène à ce cercle une sécante arbitraire MAB, le produit MA. MB des dislances de ce point aux deux intersections A et B de la sécante et de la circonférence est une quantité constante, c'est-à-dire indépendante de la direction de la sécante. Ce produit constant MA. MB, qui est évidemment positif lorsque le point M est extérieur au cercle, et négatif lorsque le point M est intérieur, porte, d'après Steiner, le nom de puissance du point M par rapport au cercle 0 {fig. 234).

Fi{ï. 234.

Considérons en particulier celle des sécantes issues du point M qui passe par le centre 0, et désignons par d la distance MO et par ;• le rayon du cercle. Si le point M [est extérieur au cercle, les deux segments MA et MB, comptés sur cette sécante, sont de même signe, et, comme leurs valeurs absolues sont d — r et d-hr, la puissance du point M a pour expression {d-^-r){d — r) ou d^—r^. Si le point M est intérieur, les deux segments MA et MB, comptés sur la sécante qui passe au centre, ont respectivement pour valeurs absolues r — d el r -h d; mais, comme ils sont de sens opposés, la puissance a pour expression — {r — d){r-\-d) = —(r^ — d'^)^ c'est-à-dire encore d^ — r^. Ainsi, dans tous les cas, Impuissance d'un point par rapport à un cercle est égale, en grandeur et en signe, à l'excès du carré de la distance de ce point au centre sur le carré du rayon.

Lorsque le point M est extérieur au cercle, sa puissance est égale au carré de la tangente MT menée au cercle par ce point.

Si le point M est intérieur, sa puissance est négative et égale en valeur absolue au carré de la moitié de la corde CMD perpendiculaire à OM, c'est-à-dire de la corde minimum parmi celles qui passent par M.

LIVIIE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 267

THÉORÈME

373. Le lieu des points M d'égale puissance par rapport à deuxcercles 0 et 0' est une droite perpendiculaire à la ligne des centres 00'.

En effet, on a MO — r'^— MO' — r'2, r et r' étant les rayons des deux cercles. Le lieu cherché est, d'après cela, le lieu des points dont la différence des carrés des distances aux centres 0 et 0' est égale à la différence des carrés des rayons. C'est donc (235) une droite perpendiculaire à 00', plus voisine du centre 0' du plus petit cercle que du centre 0 du plus grand, et dont la distance au milieu de la ligne des centres 00' est égale à la différence des carrés des rayons divisée par le double de la distance des centres.

D'après Gaultier (de Tours), on donne à cette droite le nom A'axe radical des deux cercles.

Tout point commun à deux cercles, ayant une puissance nulle par rapport à chacun d'eux, appartient à leur axe radical. De même, tout point commun à l'axe radical et à l'un des cercles appartient à l'autre cercle, puisque sa puissance doit être nulle par rapport au second cercle comme elle l'est par rapport au premier. Donc : l'axe radical de deux cercles qui se coupent est la sécante commune ; l'axe radical de deux cercles qui se touchent est la tangente commune; l'axe radical de deux cercles qui n'ont aucun point commun est extérieur à chacun d'eux.

374. En vertu de ce qui a été dit à la fin du n° 372, le lieu des points d'où l'on peut mener à deux cercles des tangentes égales est l'axe radical des deux cercles si les cercles ne se coupent pas ; s'ils se coupent, le lieu n'est que la partie de l'axe radical qui est extérieure aux deux cercles, et alors, la partie intérieure est le lieu des points tels, que les cordes minimum, relatives à ces points, soient égales dans les deux cercles.

375. Si l'on désigne par S l'un quelconque des centres de similitude de deux cercles 0 et 0', et par L, P et P' les points où la ligne des centres 00' rencontre respectivement leur axe radical et les polaires de S par rapport aux deux cercles, on a, en vertu du théorème du n''373, de la théorie de la polaire (341) et de celle des centres de similitude (362),

o s^o:s^oo;^ ^^^r^ ^,p,^^

r r r — r OS OS

On déduit de là

et, par suite,

OP + OO'-i-O'P'

OP-f-OP