SN.SM

SM.SN'=:d-

2° D'après cela, si Sm est une autre sécante issue du point S, on aura

SM.SN'=:S«.Sm';

donc (194) les points M et N', n et m' sont sur une même circonférence 0".

3" Enfin, la corde M/z étant l'axe radical des cercles 0 et 0", et la corde N'm' l'axe radical des cercles 0' et 0", le point d'intersection C des deux cordes est le centre radical (376) des trois cercles 0, 0', 0", c'est-à-dire un point de l'axe radical des cercles 0 et 0'. Cette dernière propriété, prise à sa limite, prouve encore que les tangentes en deux points anti-homologues de deux cercles se coupent sur l'axe radical.

THÉORÈME

379. Quand deux cercles (A) et (B) sont touchés par un troisième (w), la droite qui joint les points de contact a et b passe par un centre de similitude \ de {k) et de (B)^ et le pôle t de cette droite par rapport à (w) est situé sur {'axe radical L de (A) et de (B) [fg. 238i].

En effet, puisque (362) a est un centre de similitude de (A) et (w), et b un centre de similitude de (B) et (w), la droite «è est (366) un axe de similitude des trois cercles (A), (B), (w); elle passe donc par un des deux centres de similitude de (A) et(B). D'autre part, les tangentes en a et en b étant (373) les axes radicaux de (A) et (a>) et de (B) et (w), leur point de rencontre ^ c'est-à-dire (343) le pôle de ab par rapport à (o)) est le centre radical (376) des trois cercles (A), (B), {<ii)\ il appartient donc à l'axe radical L de (A) et (B).

Cette proposition a deux réciproques.

1° Si la droite ab, qui joint deux points respectifs a et b des cercles (A) et (B), passe par un centre de similitude I de ces deux cer-

j;4 GÉOMÉTRIE PLANE.

des, le cercle (w) qui touche (A) au point a et qui passe par le point b, touche en ce point le cercle (B). — En effet, si le cercle (w) coupait (B) en un second point b^, la droite I^i couperait les cercles (w) et (A) en deux points distincts a et a^^ et l'on aurait, en combinant les propriétés des sécantes (193) et celles des points antihomologues (378),

I^i.Ia = iZ'.lrt = IZ'i.Irti,

c'est-à-dire lai — la, ce qui est contraire à l'hypothèse.

2" Si la droite ab^ qui joint deux points respectifs a et b des cercles (A) et (B) est telle, que le point de rencontre t des tangentes en a et en b à ces deux cercles appartienne à leur axe radical L, le cercle (u>) qui touche (A) au point a et qui passe par le point b,

Fig. 238

touche en ce point le cercle (B). — En effet, si la droite tb coupait le cercle (w) en un second point èi, on aurait

— 2 — 2 tb.tbi = ta = tb ,

c'est-à-dire tb — tbi^ ce qui est contraire à l'hypothèse.

Corollaire.

380. Si deux cercles (A) et (B) sont touchés respectivement en a et en b par un cercle (ui) et en a' et en b' par un cercle (w'), de façon que les contacts en b et en b' soient semblables ou dissemblables sui-

\ LIVRE m. — LES FlGUilES SKMCL.VBLES. 278

vant que les contacts en a et en a' sont eux-mcmcs semblables ou dissemblables, le point de concours de deux côtés oppose's quelconques du quadrilatère aba b' est à la fois un centre de similitude des deux cercles dont ces côtés sont des cordes et un point de Vaxe radical des deux autres cercles {Jig. 2881 ).

En effet, si les contacts en a et en a' sont semblables, aa' passe (366) par le centre de similitude externe de (w) et (w'); mais, alors, les contacts en b et en b' étant aussi semblables par hypothèse, bb' passe par ce même centre de similitude; on verrait, par un raisonnement analogue, que, si les contacts en a et en a' sont dissemblables, les droites aa' et ^^' passent toutes deux parle centre de similitude interne de (w) et (w'). Dans les deux cas, le point de concours J de aa! et de bb' est donc un centre de similitude de (w) et (w'). Les points « et « sont sur ces deux cercles des points anti-homologues, et il en est de môme des points b et b'. On a dès lors

Jrt.Jrt' = JZ>.JZ>\

et le point J, ayant même puissance par rapport à (A) et à (B), appartient à l'axe radical L de ces deux cercles.

D'ailleurs, de ce que les contacts en b et en b' sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en a et en a\ il résulte que les contacts en a' et en b' sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en « et en è; et, par suite, un raisonnement identique au précédent prouve que le point de concours I de ab et de a'b' est un centre de similitude de (A) et (B) et appartient à Taxe radical de (w) et (a>').

NOTIONS SUR l'INVOLUTION.

381. On dit que plusieurs couples de points («,«'), {b, b'), ..., (m, m'), ... situés sur une même droite L forment une involuL.on, lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point 0, tel que l'on ait

La droite L est la base, 0 le point central^ et la constante K \<i puissance de l'involution.

r Deux couples de points (a, a'), {b, b'), déterminent une involution. i En effet, si p est un point pris à volonté hors de la droite L, le point l^fc central 0 doit avoir la même puissance par rapport aux cercles circon- IHscrits aux deux ifmn^XQs paa\ pbb' ; il appartient donc à l'axe radical I^Kdc ces deux cercles et, par suite, il sera le point où cet axe coupe la I^R droite L. Dès lors, q étant le second point d'intersection des deux cer- W^k ^' el DE G. — Tr. de Géom. (!'• Partie). l8

des, le conjugué d d'un point c de la droite L sera le second point commun à cette droite et au cercle circonscrit au triangle pqc.

La perpendiculaire élevée sur la base L par le point central 0 esl l'axe radical commun des cercles de'crits sur les segments aa\ bb\ cc\ comme diamètres.

2" On nomme point double d'une involution tout point u de la base L qui est son propre homologue. Pour qu'un tel point existe, il faut et il suffit qu'on ait

Donc il n'y a pas de points doid)les si K est négatif ; si K est positif, il y a deux points doubles e el f situés sur la droite L, de part et d'autre, du point central 0 à une môme distance égale à /K.

D'après cela, l'involution peut offrir deux dispositions différentes.

Si K est positif, comme on a (332, 333)

les points doubles e et /divisent harmoniquement chacun des segments aa', bb', cc\ . . .; par suite, le point central n'est jamais compris entre deux points conjugués, tels que a et «', et deux quelconques des segments aa\ bb\ ce', ... sont, soit comme aa et bb', d'un même côté de 0 et alors compris l'un dans l'autre, soit comme aa' et ce', de part et d'autre de 0 et alors extérieurs l'un à l'autre (fig. 289). 0<? et 0/ sont égales à la longueur commune des tangentes menées par 0 aux divers cercles décrits sur aa', bb', ce', . . . comme diamètres.

Si K est négatif, les produits Oa.Oa', Ob.Ob', Oc. Oc', ... éta:U négatifs, tout couple de points conjugués est séparé par le point central 0 et deux quelconques des segments aa', bb', ce', . . . empiètent l'un sur l'autre (^g. 2391). Chacun des cercles décrits sur aa', bb' , ce', . . . comme diamètres coupe l'axe radical commun aux deux mômes points P et P' symétriques par rapport à la base L et situés à une distance OP de cette base égale à la racine carrée des produits Oa.Oa', Ob.Ob', Oc. Oc', ..., c'est-à-dire égaie à / — K. Une involution de ce

LIVUK III. — LES Fir.URES SEMBLABLES.

genre étant donnée par deux couples (^, «'), (b, b') de points conjugués, c'est-à-dire par deux segments na' et bb' empiétant l'un sur l'autre, les circonférences décrites sur aa! et bb' comme diamètres donneront le point P, par suite le point central 0, projection de P sur la base L, et il suffira de faire pivoter un angle droit autour du sommet P pour avoir sur la base L tous les couples de points conjugués.

Fig. 239,.

'b ja

3° Pour que trois couples {a, «'), (/;, ^'), (c, c') de points en ligne droite forment une involution, il faut et il suffit que quatre de ces points (n'appartenant pas aux deux mêmes couples) aient leur rapport anharmonique égal à celui de leurs conjugués.

La condition est nécessaire; car, si, dans le rapport anharmonique des quatre points «, Z», c, c', on remplace le segment ca par sa valeur

Oa — Oc

Oa'

Oc'

Oa'.Oc

et chacun des autres segments par la valeur analogue, on obtient le rapport anharmonique des points «', è', c', c respectivement conjugués des premiers.

La condition est suffisante ; car, si elle est remplie, le rapport anharmonique {abcc') est égal à (a'b'c'c). Mais, si l'on désigne par a le conjugué de a' dans l'involution déterminée par les deux couples {b, b'), {c, c), le rapport anharmonique {abcc') doit, en vertu de la proposition directe, être aussi égal à (a'b'c'c), ce qui prouve que les points a et a divisent ce' dans le môme rapport et par suite coïncident.

14° Toute transversale L menée dans le plan d'un quadrilatère ABCD encontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points a, «', ^, ', c, c' formant une involutïon {fig. 2892). Car les faisceaux (AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA, CD, Ce) ont le môme

points. Donc les rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre points rt, c, b, d et b' . c, «', c' suivant lesquels la transversale L coupe ces deux faisceaux sont égaux; mais, au rapport {b\ c, «', c'), on peut substituer {a'c' b'c)^ et l'on voit ainsi que le rapport anharmonique des points a, c, b, c' est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués n\ c\ b\ c, d'où l'on conclut que {a, a), {b,b'), {c,c') forment une involulion.

5° Quand un quadrilatère est inscrit dans un cercle^ toute transversale L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en six points «, a', è, //, c, c\ formant une involulion {fg, 2892).

Fig. 2^^,.

En effet, les faisceaux (AB, AD, A^, A/), (CB,CD, Ce, C/) ont les mômes angles, puisque leurs sommets A et C sont sur la circonférence et que leurs rayons se coupent deux à deux sur cette môme ligne ; ils ont donc même rapport anharmonique et, par suite, si on les coupe par la transversale L, les deux systèmes de quatre points a, b, e, f et b\ a\ e, /que l'on obtient ont môme rapport anharmonique; donc, en échangeant, dans le dernier groupe, b' et «', e et/, on voit que le rapport anharmonique des points «, b, e, /est égal à celui de leurs conjugués a\ b\ f, e; par suite, les couples («, a'), (b, b'), {e,f) forment une mvolution. — Ce théorème est dû à Desargues.

Tels sont les premiers principes do cette belle théorie de l'involution, dont on trouvera l'entier développement dans notre seconde Partie.