FAISCEAUX DE CERCLES

382. On dit que plusieurs cercles A, B, C, ... forment un jaisceau lorsqu'ils ont leurs centres sur une môme droite L et que les points a et «', h et h\ c et c', ... suivant lesquels ils coupent cette droite forment une involution.

La base L, le point central 0 et la puissance K de l' involution reçoivent les noms de hase^ point central et puissance du faisceau.

Le faisceau est dit du premier ou du second genre suivant que l'involulion correspondante a des points doubles ou en est dépourvue, c'est-à-dire suivant que K est positif ou négatif.

1° Il résulte de la théorie de l' involution qu'w/i faisceau de cercles est déterminé par deux quelconques d'entre eux, et que tous les cercles d'un faisceau, pris deux à deux, ont le même axe radical. La réciproque de cette dernière proposition est vraie : si, plusieurs cercles A, B, C, . . ., pris deux à deux, ont un même axe radical R, ils forment un faisceau dont la base L est perpendiculaire à R ; car les centres sont évidemment distribués sur une même perpendiculaire L à l'axe radical R, et le point 0 commun à R et à L ayant même puissance par rapport à chacun des cercles, on a, en désignant par a et a', h et h\ c et c', ... les points où ces cercles coupent la droite L,

2° Les points doubles e et /de l'involution relative à un faisceau de cercles du premier genre prennent le nom de points limites du faisceau ; voici pourquoi : puisque e Qi f divisent harmoniquement chacun des diamètres aa\ hb\ ce', ... les milieux de ces diamètres, c'est-à-dire les centres des cercles A, B, G, ... sont tous en dehors du segment ef; les deux parties indéfinies de la base L qui sont l'une à gauche de e, l'autre à droite de /, sont les seules régions dans lesquelles puisse se trouver le centre d'un cercle quelconque du faisceau; d'ailleurs, tout point a> de ces régions est effectivement le centre d'un cercle du faisceau ; c'est le cercle Q qui a pour rayon la tangente tut menée par w au cercle décrit sur e/ comme diamètre. Le rayon 0^ du cercle ef, étant en effet perpendiculaire à wf, est tangent au cercle û et, si a et a' sont les points où ce cercle coupe L, on a

Oa.Oa'=Ô/^ = C)^\

ce qui prouve que le cercle Q fait partie du faisceau. Le rayon du cercle Q. diminue à mesure que son centre w se rapproche de l'un des points e et /, et par suite ces points limites peuvent être considérés comme deux cercles évanouissants faisant partie du faisceau.

Dans un faisceau du second genre, tous les cercles passent par les deux points P et P' (381) de l'axe radical II; on a donné à pes points le nom de points fondamentaux. Ici, tout point o) de la base peut être le centre d'un cercle du faisceau; c'est le cercle Q. décrit de oj comme centre avec œP pour rayon.

3° On dit que deux faisceaux de cercles sont conjugués lorsque, le point central étant le même, les bases sont rectangulaires et les puissances égales et de signes contraires.

Il est clair q\x alors les points fondamentaux de Vun des faisceaux coïncident avec les points limites de Vautre et que, réciproquement, si cette coïncidence a lieu, les deux faisceaux sont conjugués.

4° On peut donner à l'expression de la puissance d'un point P par rapport à un cercle (A) une forme élégante et souvent commode, en faisant intervenir un cercle auxiliaire (G) astreint seulement à passer par le point P <^fig. 2093).

En désignant par I le milieu de la ligne des centres AC, et par p la projection du point P sur cette ligne, on a (23i)

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