PROPRIÉTÉS DES FIGURES INVERSES

384. Étant donné, dans un plan, un système quelconque de points A, B, C, . . ., isolés ou formant des lignes continues, si, sur les rayons vecteurs SA, SB, se,. . ., issus d'un point S choisi arbitrairement dans le plan, on prend, à partir de ce point S, des segments SA', SB', SC, ..., tels que

SA.SA'=SB.SB'=SG.SG'= . . . = fi,

\L étant une quantité constante positive ou négative, on dit que le système A'B'C . . est inverse du système ABC Le point fixe S prend le

nom d'origine, et la constante (jl le nom de puissance. Si celle puissance est positive, les rayons vecteurs correspondants SA et SA' sont de môme sens, elles points correspondants A et A' sont situés d'un môme côlé par rapport à l'origine S; si fji est négatif, les rayons vecteurs SA cl SA' sont de sens contraires, et les points correspondants A et A' sont situes de part et d'autre de 1 origine S.

THÉORÈME

3Sr"i. Deux figures F' et F", inverses d'une même figure ¥ par rapport à une même origine S et à deux valeurs difficrentes (jl' et \x" de la con-

S tante \i., sont honiotJiétiques i leur centre de siinilitude est le point S et

leur rapport de similitude est égal à ^

En effet, si l'on désigne par M un point quelconque de la figure primitive F, et par M' et M" les points correspondants des figures F' et F", points qui sont d'ailleurs situés sur la droite indéfinie SM, on a

d'où

SM.SM'= (Ji', SM.SM"=fx";

SM"~(jl"'

THÉORÈME

386. M ^/ N étant deux points quelcouques d'une f gare et M', N', les points correspondants d'une fgure inverse par rapport à une origine S et à une puissance p., la distance M'N' s'obtient en multipliant la distance MN par le rapport de la puissance jjl au produit SM . SN des deux rayons vecteurs de la figure primitive.

En effet, la relation {fig. 240)

SM.SM'=SN.SN'=|x prouve que les droites iMN, M'N' sont anliparallèlcs par rapport a l'angle

Fig. 240.

Fig. 241.

MSN, et par suite que les Irianslos SMN, SM'N', sont semblables. Oa a donc

M'N^ SN; \L MN ~SM "SM.SN' d'où