SM.SN

THÉORÈME

387. L angle de deux lignes quelconques qui se coupent est égal a r angle des deux lignes inverses.

LIVRI-; m. — LES FIGUUES SE31BLAULES. 283

Considérons d'abord {fîg. 240) une seule ligne quelconque MN et son inverse M'N'; il est aisé de voir que les angles TMM', TM'AI, que leurs tangentes MT, M'T, font avec le rayon vecteur SMM', sont égaux; car, si l'on considère un rayon vecteur voisin SNN', les cordes MN et M' N' sont, comme nous l'avons déjà fait observer, antiparallèles par rapport à l'angle MSN; donc les angles SM'N', SNM, sont égaux; or, à la limite, le premier devient l'angle S M'T, et l'autre, l'angle SMTi, opposé par le sommet à l'angle TMM'; donc, MM'T = TMM'. Pour éviter toute ambiguïté dans la manière de compter les angles, on peut remarquer que les deux tangentes correspondantes forment les deux côtés d'un triangle isocèle TMM', dont la base est la partie MM' du rayon vecteur comprise entre les deux points de contact.

Soient actuellement {fg. 241) deux courbes M« et MA qui se coupent en M, et les courbes inverses M'a' et M'A'; il faut prouver que l'angle des deux premières, c'est-à-dire l'angle tMÏ de leurs tangentes, est égal à l'angle ?M'T des deux autres. Or, on a, d'après l'alinéa précédent,

/MM'= ?M'M, TMM'= TM'M,

d'où, en retranchant,

?MM'— TMM' ou /MT = ;M'M — TM'M ou ;M'T.

Cette propriété de conserver les angles dont jouit ce mode de transformation des figures est très importante : elle entraîne la similitude des triangles infiniment petits correspondants, de sorte que deux figures inverses l'une de l'autre sont deux figures semblables dont le rapport de similitude varie d'un lieu à un autre.

Les trois théorèmes précédents sont généraux, c'est-à-dire relatifs à des figures quelconques; les trois suivants sont particuliers et relalils à la droite et au cercle.

THÉORÈME

388. La figure inverse d'une ligne droite est une circonférence /uis-^ sant par l'origine.

Nous laissons de côté le cas où la droite donnée passe par l'origine. Dans cette hypothèse, cette droite elle-même est évidemment son inverse.

Considérons donc une droite AB ne passant pas par l'origine S {fg. 2.\-2, 243). Menons du point S surAB deux droites, l'une SP perpendiculaire, l'autre SM oblique à AB, et prenons respectivement sur ces lignes les inverses P' et M' des points P et M. Los droites MP et M'P' étant antiparallèles (386), l'angle SM'P' doit ôLro droit comme l'angle SPM. Lo

284 GÉOMÉTKIE l'LANE.

lieu du point M' est donc la circonférence décrite sur SP' comme diamètre.

Réciproquement, la figure inverse d'une circonférence passant par V origine est une droite perpendiculaire au diamcirc qui aboutit à r origine.

En effet, soient {fig. 1^1^ 243) P l'inverse de l'extrémité P' du diamètre SP' et M l'inverse d'un point quelconque M' de la circonférence. Les droites ]\1P et M'P' étant antiparallèles, l'angle SPM doit être droit

Fig. 242.

Fig. 243.

comme son égal SM'i^'. Le lieu du point M est donc la perpendiculaire élevée par P sur SP'.

SCOLIE

389. Les distances SP et SO de l'origine a la droite et au centre du cercle sont liées par la formule

2S0.SP = fx,

où \i. est la puissance donnée. Cette relation a lieu en grandeur et en signe.

On voit par là qu'w/ze droite AB et un cercle 0 situés d'une manière quelconque dans un plan {fig. 242, 243) peuvent toujours être considérés comme des figurées inverses Vune de Vautre. Il suffit de choisir pour origine S l'une des extrémités du diamètre perpendiculaire à la droite, c'est-à-dire (401) l'un des centres de similitude du système formé par la droite et le cercle, et pour puissance ji la valeur en grandeur et en signe du double produit des distances de l'origine à la droite et au centre du cercle.

THÉORÈME

390. La figure inverse dhinc circonférence , lorsque r origine est intérieure ou extérieure à la courbe, est une circonférence.