SO' SO

Le signe -4- se rapporte au cas où, \l et/? étant de même signe, l'homolhctie est directe, et le signe — au cas où, (x et/? étant de signes opposés, l'homothétie est inverse.

Fi'c. 244.

D'ailleurs, si p' est la puissance de l'origine S par rapport au cercle )', on a, d'après les relations ci-dessus,

■d'où

SO'2— R'2 n' mS

• ou — =: —

fX' =/?/?.

On voit, par ces formules, que deux cercles 0 et 0', situe's dhine ma-

nière quelconque dcms an plan, peuvent toujours être regardes comme inverses Vun de Vautre. Il suffit d3 prendre pour origine S l'un quelconque des deux centres de similitude et, pour puissance, la moyenne géométrique entre les puissances p et /?' du point S par rapport aux deux cercles, en donnant à cette moyenne le signe de p ou le signe opposé, suivant que S est un contre de similitude externe ou interne.

On aurait pu déduire tous ces résultats du n° 378. Les points inverses l'un de l'autre ne sont autres que ceux que nous avons appelés antihomologues. On peut donc dire que les tangentes aux points correspondants de deux cercles inverses se coupent sur l'axe radical des deux cercles.

392. Les centres 0 et 0' de deux cercles inverses ne sont pas des points correspondants. Il y a donc lieu de se demander quels sont les inverses de ces centres.

Désignons {fig. 244) par F l'inverse du centre 0 et par A, B, A', B',

les points où la ligne des centres SOO' rencontre les deux cercles. Nous

aurons

SO.SI' = |Ji,

d'où

J ^ P^^ ^ ^^^'Jl?l' SF " jji ~ ~[x2~ "~ p' " 2 SA'. SB' '

c'est-à-dire

sI'^sÂ'"^ sIF*

Le point I' est donc (332) le conjugué harmonique de S par rapport au diamètre du cercle 0'. Ainsi, Vinverse du centre de Vun quelconque des deux cercles est le pied de la polaire de V origine par rapport à Vautre cerr/^(340, 341).

On voit par là que, pour que deux cercles aient pour inverses deux cercles concentriques, il faut et il suffit que V origine ait même polaire par rapport à ces deux cercles.

Par suite, tout faisceau de cercles du premier genre peut, par inversion, être transformé en un système de cercles concentriques ; il suffit do prendre pour centre d'inversion l'un àes points limites e ou /(382), puisque, e et /étant conjugués harmoniques par rapport à chacun des diamètres aa\ bb', cc\ la polaire du point e est la môme par rapport à tous les cercles du faisceau.

Tout faisceau de cercles du second genre peut, au contraire, être transformé par inversion en un faisceau de droites; il sulïit évidemment (382) de choisir pour centre d'inversion l'un des points fondamentaux P ou P'.