LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

THÉORÈME

393. Les cercles inverses (A') et (to') de deux ce?'cles tangents (A) et {im) sont aussi tangents, puisque l'inversion conserve les angles ; d'ailleurs, les contacts entre (A') et (ca') et entre (A) et {ta) sont semblable i ou dissemblables, suivant que les puissances du centre d^ inversion '^ par rapport aux deux cercles primitifs (A) et (oj) ont le même signe ou des signes opposés {Jig. i\f\i).

Pour le prouver, prenons la constante d'inversion égale à la puissance de S par rapport à (A); ce cercle se transformera alors en luimême (390). Désignons par p et par cr la puissance du point S par rapport à (A) et par rapport à (co); par A, co, w', les centres des cercles (A), (w), (to'); enfin, par a et a' les points où (A) est touché respectivement par (w) et par (o)').

Fig. 244,.

K Le centre S d'inversion étant à la fois sur la ligne des centres ww' et sur la droite aa' qui joint deux points correspondants, le triangle Aww' coupé par la transversale Saa' donne

aiù a'k Sco' ah. a'(ù' Sto

ses, les deux premiers rapports de la relation (i) seront de môme signe

Mais, puisque l'on prend p pour constante d'inversion, on a

So)' p Sa) ~ cï

OU de signes cpntraires. D'ailleurs, le contact en a est interne ou externe, suivant que le rapport — est positif ou négatif; de même: le

contact en a' est interne ou externe, suivant que le rapport -r-, est positif ou négatif. Donc, les contacts en a et en a' seront semblables ou dissemblables, suivant que p Qirs seront de même signe ou de signes contraires.

THÉORÈME

394. Si l'on considère deux cercles quelconques et leurs inverses y en désignant par «?, r, r\ la distance des centres et les rayons des deux premiers cercles, et par 8, p, p', les éléments analogues pour les deux autres cercles, on a

Il faut prendre le signe -h ou le signe — suivant que les puissances de l'origine par rapport aux deux cercles primitifs sont de même signe ou de signes opposés.

En effet, soient S l'origine, 0 et 0' les centres des premiers cercles, to el w' les centres des cercles inverses, A et a les projections de 0 et de w sur la droite SO'w' {Jig. 245). Désignons par jji la constante d'inversion, et par /?, /?', w^ rs\ les puissances de l'origine S par rapport aux cercles 0, 0', w, w'.

Fig. 2^5.

Le triangle SOO' donne ou (372)

</2=soVsO''— 2SA.S0',

^2 r2— r'2 = ^ -4- /?'— aSA . SO', et l'on aurait de même •

22 p2 — p'2 TO i cj' — aSa.Sw'.