LIVRE III
LES FIGURES SEMBLABLES
son supplément, et les angles XAR, XBR, sont égaux à - — a, - — p,
OU à leurs suppléments. Or, les circonférences qui coupent RA et RB
sous les angles a, p, sont homothétiques et ont pour centre
d'homothétie le point R. On connaîtra donc la position de la droite RX XR XR XD'
et la valeur du rapport ^^^ = Yn
XA
Sur le côté XR, considéré comme homologue de XD, construisons le
triangle XRC, directement ou inversement semblable au triangle XDC.
On connaît l'angle XRC et la longueur RC déterminée par la propor-
RC XR lion j-^ — \T)' ^" P®"'' ^^"^ trouver le point G'. D'ailleurs, la simili-
tude des triangles XRC, XDC, donne la relation
XC XR ,,
^ = 3^.Parcon-
séquent, le point X, situé sur la droite connue RX, appartient aussi à la circonférence, lieu des points dont les distances à C et à G sont dans le rapport de XR à XD. Le problème comporte huit solutions.
(c) Connaissant deux circonférences (A) et (B) ei un point D pris sur (A), construire une circonférence (X) qui passe par D et qui coupe (A) et (B) sous des angles donnés a et ^ {fg. 2473).
Supposons le problème résolu, et soit E l'un des points communs aux cercles (X) et (B). Par hypothèse, les angles XDA, XEB, sont égaux aux angles a et p ou à leurs suppléments. Sur le côté XD, égal
à XE, construisons le triangle XDB' symétriquement ou directement égal au triangle XEB. On connaît les angles ADX, XDB', et, par suite, la position de la droite DB' et celle du point B'. Le centre X est donc déterminé, puisqu'il est situé sur la droite connue DX et équidistant des points B et B'. Il y a quatre solutions.
{d) Décrire une circonférence (X) qui coupe respectivement deux circonférences concentriques ( A ) et ( B ) et une circonférence quelconque (G) sous des angles donnés a, [3, y^
R. et DE C. — Tr. de Gcom. (I" Partie). 20
3o6 GÉOMÉTRIE PLANE.
Décrivons une circonférence qui coupe respectivement (A) et C^) sous les angles a et p. L'une des circonférences cherchées sera égale à cette circonférence et coupera (C) sous l'angle y. Or, le lieu des centres des circonférences égales qui coupent sous un même angle un cercle donné se compose de deux circonférences concentriques. Les centres des cercles cherchés se trouvent donc à la rencontre de circonférences que l'on sait construire. Le problème comporte huit solutions.
(e) Nous pouvons maintenant passer au problème général :
Décrire une circonférence (X) qui coupe respectivement trois cercles donnés (A), (B), (C), sous des angles donnés a, p, y*
Si deux des cercles donnés, (A) et (B), se coupent, on formera la figure inverse en prenant pour centre d'inversion l'un des points d'intersection 0 et pour coefïicient d'inversion la puissance de ce point par rapport au cercle (C). Ce cercle ne changera pas, les cercles (A) et (B) se transformeront en deux droites et, comme l'inversion n'altère pas les angles, on sera ramené au problème (b).
Si les circonférences (A), (B), (G), considérées deux à deux, n'ont aucun point commun, on pourra (392) former la figure inverse de façon que deux des cercles donnés se transforment en deux circonférences concentriques, et le problème sera ainsi ramené au problème (d).
