CERCLE DES NEUF POINTS

404. ABC étant un triangle quelconque, désignons par (M) le cercle qui a pour rayon la moitié du rayon du cercle circonscrit et pour centre le milieu M de la droite qui joint le centre 0 du cercle circonscrit au point de concours H des hauteurs (/%•. 2474).

Le cercle (M) pusse par les milieux a, b, c, des côtés, par les pieds a, P, Y, des hauteurs, et par les milieux p^ q, r des distances du pomt de concours H des hauteurs aux trois sommets A, B, C.

En effet :

1° La droite M/?, joignant les milieux M et p des côtés IIO et HA du triangle OHA, est parallèle à la base OA et égale à la moitié de cette base, c'est-à-dire à la moitié du rayon du cercle circonscrit. Le cercle (M) passe donc par /?, et l'on verrait de même qu'il passe par 7 et r.

2° On a vu (117) que les hauteurs du triangle ABC étaient les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un second triangle A'B'C, obtenu en menant par chaque sommet du premier la parallèle au côté opposé. Les triangles A'B'C et ABC étant semblables et ayant 2 pour rapport de similitude, la droite AH considérée comme liée au triangle A'B'C est double de la droite 0« qui est son homologue par rapport au triangle