LIVRE IV. — LES AIRES. Ssg

Corollaires.

424. En désignant par S, B, H les trois nombres qui mesurent respectivement l'aire d'un parallélogramme, sa base el sa hauteur, on a la formule

Donc •-

Deux parallélogrammes de même base et de même hauteur sont équivalents; deux parallélogrammes sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

THÉORÈME

425. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du pro» duit de sa base par sa hauteur.

Il suffit, pour démontrer ce théorème, de prouver que tout triangle est la moitié du parallélogramme de même base el de même hauteur.

Soit le triangle ABC {fig. i52). On obtient un parallélogramme de même base BC el de même hauteur AE, en menant, par les sommets A et C du triangle, des parallèles AD et CD aux côtés opposés. Le triangle ABC est la moitié de ce parallélogramme ABCD, car tout parallélogramme est partagé par une de ses diagonales en deux triangles égaux. Donc, l'aire du parallélogramme ABCD étant égale au produit de sa baseBC par sa hauteur AE (423), l'aire du triangle ABC sera égale à la moitié du produit de sa base BC par sa hauteur AE.

Corollaires.

426. En désignant par S, B, II, les trois nombres qui mesurent respectivement Taire du triangle, sa base et sa hauteur,

33o GÉOMÉTRIE PLAISE.

on a la formule

Donc :

Deux triangles de même base et de même hauteur sont équivalents; deux triangles sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux triangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

427. Quand le triangle est équilaléral, son aire s'exprime en fonction de son côté «.

La hauteur du triangle tombant alors au milieu de sa base, on a en efïei

et la formule

devient

Exemple. — Quelle est la surface du triangle équilaiéral-de mètre de côté?

On a

à I centimètre carre près, 428. Considérons un triangle ABC et appelons

rt, è, r, les côtés respectivement opposés aux sommets A, B, G; p, le demi-paramètre ; S, l'aire;

h^ la hauteur relative au côté a\ R, le rayon du cercle circonscrit; r, le rayon du cercle inscrit;

/, r\ /", les rayons des cercles ex-inscrits qui sont respectivemenl si tués dans les angles A, B, G.