La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite

R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). i

dont la notion est familière à tout le monde, et dont un fll tendu offre l'image.

Cette ligne est caractérisée par la propriété suivante : Deux Doints déterminent une droite; en d'autres termes, par deux points on peut toujours faire passer une droite, et Ton n'en peut faire passer qu'une. D'où il suit que deux droites gui ont deux points communs coïncident, non seulement entre ces deux points, mais encore dans toute leur étendue; et, par conséquent, que deux droites distinctes ne peuvent avoir qu'un point commun.

3. En Géométrie, on indique un point par une lettre, une droite par deux lettres affectées à deux de ses points. Ainsi, l'on dit le point A, la droite AB {fig. i).

Fiff. I.

Deux portions AB et CD, prises respectivement sur deux droites indéfinies, ont la môme longueur lorsqu'elles sont siiperposables. Cette coïncidence peut avoir lieu de deux manières suivant que C tombe en A et D en B, ou que C tombe en B et D en A.

Pour ajouter deux portions de droites AB et CD, on porte l'une d'elles, CD, en BE, à la suite de l'autre prolongée : la somme est la longueur de la droite AE comprise entre les points extrêmes : elle est indépendante de l'ordre des parties.

Une droite AE est dite plus grande qu'une autre CD, lorsque sa longueur est la somme des longueurs de cette autre et d'une troisième.

On remarquera que nous n'avons pas défini le mot longueur; c'est que l'idée de longueur est une de ces notions premières qu'on ne sait ramener à aucune autre. Aussi bien, hâtons-nous de le dire, il n'est pas nécessaire de savoir définir une grandeurpour pouvoir la mesurer (*), c'est-à-dire la coni-

(') Voir, à la fin du Volume, la Note I Sur la mesure des grandeurs.

IKi à aiie autre grandeur de même espèce prise pour unité; il suffit de posséder la notion des grandeurs de cette espèce et d'avoirdéfinileur égalité et leur addition. C'est ainsi qu'après avoir défini, comme nous venons de le faire, l'égalité et l'addition des lignes droites, on conçoit nettement ce que c'est qu'une portion de droite double, triple, . . ., d'une autre, et en général ayant avec cette autre un rapport quelconque.

On nomme distance de deux points A et B la longueur de la droite qui joint ces deux points.

Toute portion de droite AB a un milieu 0, c'est-à-dire un point qui la partage en deux parties égales. En effet, si un mobile parcourt cette droite en marchant de A vers B, sa distance au point A, d'abord nulle, croît d'une manière continue jusqu'à la longueur AB, tandis que sa distance au point B, d'abord égaie à AB, décroît d'une manière continue jusqu'à devenir nulle. 11 passe donc par une position pour laquelle il se trouve à égale distance des extrémités A et B. Celte position est unique, puisque, avant de l'atteindre et après l'avoir dépassée, le mobile se trouve à des distances inégales des points A et B.

4. On nomme li§^ne brisée une ligne ABCD formée de plusieurs portions de droites placées bout à bout {/ig, 2). On

Fi<

confond sous la dénomination commune de lignes courbes toutes les lignes autres que la ligne droite ou les lignes briîées.

6. La plus simple de toutes les surfaces est le plan, dont ine glace polie peut donner l'idée. La définition géométrique lu plan consiste en ce que toute droite qui joint deux points le cette surface y est contenue tout entière. C'est ainsi que,

pour vérifier si une table est plane, on s'assure qu'on peut y appliquer dans tous les sens une règle bien dressée, sans qu'il reste aucun vide entre la table et la règle.

Un plan P doit être considéré comme ayant deux faces, le dessus Pi et le dessous Po. F étant une figure tracée sur P,, prenons le calque cp de F sur une feuille Q dont nous désignerons le dessus par Qi et le dessous par Qj. Actuellement, O, est appliqué sur Pj. F restant fixe, retournons la feuille Q, de façon que Qi vienne s'appliquer sur P,; l'empreinte F' que 9 laissera sur P^ est ce qu'on nomme le retournement de la figure F.

Une surface formée de plusieurs portions de plans distinctes est dite brisée; et l'on confond sous la dénomination commune de surfaces courbes toutes les surfaces autres que le plan et les surfaces brisées.

On divise la Géométrie en deux parties : la Géométrie plane, relative aux figures situées dans un plan unique, et la Géométrie dans l'espace, relative aux figures dont les éléments peuvent être disposés d'une manière quelconque dans l'espace.

6. Nous terminerons cette Introduction par quelques remarques importantes.

Toute proposition consiste dans une hypothèse et une conclusion qui en découle, soit immédiatement, soit en vertu d'un raisonnement qu'on appelle démonstration.

On nomme réciproque d'une proposition une seconde proposition dont l'hypothèse et la conclusion sont respectivement la conclusion et l'hypothèse de la première. La proposition contraire d'une proposition est une autre proposition dont l'hypothèse et la conclusion sont respectivement la négation de l'hypothèse et de la conclusion primitives. Ainsi, la proposition « Si A égale B, C égale D » a pour réciproque : « 5i G égale D, A égale B », et pour contraire : « Si A n'est pas égal à B, C n'est pas égal à D ».

La vérité de la réciproque d'une proposition exacte entraîne celle de la proposition contraire. Ainsi, soit la proposition : # Si A égale B, G égale D » ; de la réciproque : « Si C égale J),

A égale B, il résulte que « si A n'est pas égal à B, C n'est pas égal à D » ; car si C était égal à D, A serait égal à B.

De même, la vérité de la proposition contraire d'une proposition exacte entraîne la vérité de la réciproque.

7. En général, lorsque dans une proposition ou dans une série de propositions on a fait toutes les hypothèses possibles sur un sujet déterminé et que ces hypothèses ont conduit à des conclusions respectives essentiellement distinctes et dont chacune exclut toutes les autres, on peut affirmer que les récipr yques des propositions établies sont toutes vraies. Nous fei'ons clans la suite un fréquent usage de ce principe.