LIVRE iV. — LES AIRES

450. Si, au lieu d'éliminer C entre les relations (i) et (2), on éliniine R, on trouve la formule

i qui permet de calculer directement la surface, connaissant la

circonférence, ou la circonférence, connaissantlasurface. Celte formule est beaucoup moins usuelle que les précédentes.

^R 451. Exemples *

^H 1" Quelle est la surface d'un bassin circulaire dont le rayon ^K est 1^,1^1

H On a

et, en prenant pour 7: la valeur 3,142 approchée à moins d'un millième, on trouve S = i6*"*ï, 63 à moins d'un décimètre carré.

2° Quel est le rayon du cercle dont la surface est de 20 mètres carrés?

La formule donne

à moins d'un centimètre.

3<* Quelle est la surface d'un cercle dont la circonférence est égale à ro mètres?

On a

^K à moins d'un décimètre carré.

^K 452. Le rapport des aires de deux cercles est éççal au rap- ^m port des carrés de leurs rayons.

Car, en désignant par S et R Taire et le rayon du premier

346 GÉOMÉTRIE PLÀNfi.

cercle, et par S' et R' Taire et le rayon du second, on a

S = TrR% S' = nW\ d'où ^ = ^,'

THÉORÈME

453. L'aire d'un secteur circulaire a pour mesure le produit de son arc par la moitié du rayon.

L'aire du secteur circulaire est la limite des aires des secteurs polygonaux réguliers inscrits (447) dont on fait croître indéfiniment le nombre des côtés. D'après cela, soient S l'aire du secteur considéré, / la longueur de l'arc qui le termine, et R le rayon de cet arc; soient de même s l'aire d'un secteur polygonal régulier inscrit, p le périmètre de la ligne brisée régulière qui le termine, et a l'apothème de cette ligne brisée. On a (446)

Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée régulière inscrite, 5 tend vers S, p vers /, et a vers R. On a donc, à la limite,

Corollaires.

454. En comparant les formules (i) et (5), on voit que le secteur est au cercle entier comme son arc est à la circonférence.

Si n est le nombre de degrés de l'arc, le rapport de cet arc

à la circonférence sera ^^•> et par suite l'aire S du secteur

s'obtiendra en multipliant par ce rapport l'aire ttR' du cercle, de sorte qu'on aura

Cette formule permet de calculer l'une quelconque des quantités S, R, n, lorsqu'on connaît les deux autres.