Construite un carré équivalent à un polygone donné
Supposons d'abord qu'on veuille construire un carré équivalent à un triangle donné. Soient X le côté de ce carré, B et H la base et la hauteur du triangle proposé. On devra avoir (421,425)
Le côté du carré cherché sera donc une moyenne proportionnelle à la moitié de la base du triangle et à sa hauteur.
S'il s'agit d'un parallélogramme, d'un trapèze, d'un polygone régulier et, en général, d'un polygone dont l'aire soit exprimée par le produit de deux lignes, il suffira de chercher la moyenne proportionnelle à ces deux lignes. On obtiendra ainsi le côté du carré équivalent.
Dans tout autre cas, on transformera le polygone donné en un triangle équivalent (460), et on cherchera le carré équivalent à ce triangle, comme on vient de le dire.
PROBLÈME
404. Trouver deux droites proportionnelles à deux polygones donnés»
On pourra toujours remplacer les polygones considérés par
les carrés équivalents (463). Soient a et a' les côtés de ces carrés, a; et/ les droites cherchées. On devra avoir
On peut choisir arbitrairement l'une des deux droites cherchées, y par exemple, et poser y = o! . Il vient alors
ou
X sera donc, dans cette hypothèse, une troisième proportionnelle (247) aux côtés «' et a; et le rapport de cette troisième proportionnelle à a' sera le même que celui des polygones donnés.
PROBLÈME
465. Construire un polygone équivalent à un polygone P et semblable à un polygone Q.
Il s'agit ici de transformer un polygone donné P en un autre polygone X équivalent au polygone P, mais semblable à un second polygone donné Q.
Soient q un côté quelconque du polygone Q, et x le côté homologue du polygone X. On devra avoir (435)
ou, puisque le polygone X doit être équivalent au polygone P,
Remplaçons les polygones Q et P par les carrés équivalents aet 6' (463). Il viendra
a' q* ., , a q t; = — ,' d'où T = ~' b^ x^ b X
Le côté X est donc une quatrième proportionnelle aux trois droites a, b, q (240), et il restera à construire sur ce côté, homologue du côté q, un polygone semblable au polygone Q (253).
